На главную страницу

Программа "Матшкольник"

Образцы задач

[Gzipped piostscript; may be viewed directly by some versions of ghostview (81K)
Zipped postscript (81K)]

Нижеследующая программа примерно соответствует уровню знаний сильного выпускника математической школы высокого уровня, и именно на этой программе основан летний вступительный экзамен. Вступительный экзамен, проводимый в сентябре, напротив, не требует познаний, выходящих за рамки школьной программы; предполагается, что студенты, поступившие к нам по результатам сентябрьского экзамена, освоят материал программы "Матшкольник" по ходу дела.

Если вы владеете этой программой --- вы точно потенциальный студент НМУ (математического колледжа). Если нет, но вы готовы много работать - приходите, попробуйте, мы постараемся вам помочь. "Нагнать отставание" по этой программе не невозможно (есть примеры), хотя и очень трудно.

Кольцо целых чисел. Кольца и поля вычетов

1. Делимость целых чисел.
2. Арифметика остатков.
3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
4. Взаимно простые числа.
5. Алгоритм Евклида.
6. Решение уравнений вида ax+by=c.
7. Основная теорема арифметики и ее следствия.
8. Бесконечность множества простых чисел.
9. Теорема Ферма--Эйлера.

Кольцо многочленов

1. Деление многочленов с остатком.
2. Теорема Безу.
3. Корни многочленов и разложение на множители.
4. Конечность числа корней.
5. Многочлены, совпадающие как функции, имеют равные коэффициенты.
6. Интерполяция: существование и единственность.
7. Квадратный трехчлен. Формула корней.
8. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
9. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида.
10. Однозначность разложения на неприводимые (для R[x]).
11. Производная и кратные корни.
12. Симметрические многочлены.

Поле комплексных чисел

1. Комплексные числа и операции над ними.
2. Возможность и однозначность деления.
3. Сопряженные числа.
4. Основная теорема алгебры (формулировка). Следствие: всякий многочлен из R[x] разлагается на линейные и квадратные множители в R[x].
5. Тригонометрическая форма комплексного числа.
6. Геометрический смысл умножения.

Комбинаторика. Группа перестановок

1. Перестановки.
2. Размещения с повторениями.
3. Размещения.
4. Сочетания.
5. Бином Ньютона.
6. Треугольник Паскаля.
7. Формула включений и исключений.
8. Умножение перестановок.
9. Четные и нечетные перестановки.
10. Разложение перестановок в произведение циклов.

Теория множеств

1. Счетные множества.
2. Произведение и сумма счетных множеств.
3. Если A бесконечно, а B счетно, то объединение A и B равномощно A.
4. Теорема Кантора--Бернштейна (формулировка).
5. Пример несчетного множества.
6. Теорема Кантора (для всякого множества существует множество большей мощности).
7. Равномощность прямой и плоскости.

Последовательности и пределы

1. Предел последовательности.
2. Единственность предела.
3. Теорема о двух милиционерах.
4. Предел суммы, разности, произведения и частного.
5. Предел отношения показательной и степенной функций.

Свойства действительных чисел

1. Точная верхняя грань.
2. Вложенные отрезки.
3. Предел монотонной ограниченной последовательности.
4. Критерий Коши.
5. Покрытие отрезка интервалами.
6. Существование иррациональных чисел.
7. Несчетность множества действительных чисел.

Числовые ряды

1. Сходимость и абсолютная сходимость.
2. Сумма и произведение рядов.
3. Признак сравнения.
4. Интегральный признак.
5. Геометрическая прогрессия.
6. Гармонический ряд.

Непрерывность на прямой

1. Различные определения непрерывной функции на прямой.
2. Достижение максимума.
3. Прохождение нуля.
4. Равномерная непрерывность.
5. Непрерывность элементарных функций (многочлены, тригонометрические функции, логарифм).

Дифференцирование на прямой

1. Определение производной.
2. Производные суммы, произведения, частного.
3. Производная сложной функции.
4. Производные элементарных функций.
5. Теоремы Ролля и Лагранжа.
6. Монотонность и первая производная.
7. Выпуклость и вторая производная.
8. Применение выпуклости к доказательству неравенств.
9. Формула Тейлора.

Интеграл

1. Интеграл непрерывной функции по отрезку.
2. Первообразная непрерывной функции.
3. Теорема Ньютона--Лейбница.
4. Интегрирование по частям и замена переменной.

Группы преобразований плоскости и их комплексный смысл

1. Движения: перенос, поворот, симметрии.
2. Вычисление композиций различных видов движений.
3. Формулировка теоремы Шаля о классификации движений.
4. Преобразования подобия.
5. Композиции гомотетий и движений.
6. Дробно-линейные преобразования комплексной плоскости.
7. Инверсия.

Геометрия векторных пространств

1. Координатное пространство и его подпространства.
2. Системы линейных уравнений и их геометрический смысл.
3. Теорема: однородная система, в которой неизвестных больше, чем уравнений, имеет ненулевое решение.
4. Линейная зависимость.
5. Базисы. Размерность.
6. Пересечение и сумма подпространств: соотношение размерностей.
7. Скалярное произведение.
8. Неравенство Коши--Буняковского.
9. Неравенство треугольника.
10. Угол между векторами.