На главную страницу НМУ

И.В.Аржанцев

Введение в геометрическую теорию инвариантов

Занятия будут проходить по понедельникам в 19-10 в ауд. 309. Первое занятие состоится 14 февраля. Предполагаются некоторые начальные знания по алгебраической геометрии. Курс может быть полезен всем студентам, изучающим этот предмет.

Вопросы и задачи (Questions and problems)

[Postscript (33K)|Zipped postscript (13K)]

Программа курса

  1. Проблема факторизации по действию группы. Примеры: гиперэллиптические кривые и бинарные формы.
  2. Необходимые сведения из теории алгебраических групп: теорема Шевалле, редуктивные и унипотентные группы, теорема Леви.
  3. Общие свойства действий алгебраических групп на ал\-геб\-раи\-ческих многообразиях: орбиты и стабилизаторы, теоремы о вложениях, нормализация, теорема Сумихиро.
  4. Геометрический фактор. Теорема Розенлихта. Категорный фактор. Пример отсутствия категорного фактора.
  5. Теорема Гильберта об инвариантах. 14-я проблема Гильберта. Контрпример Нагаты. Теорема Вейценбека. Теорема Гроссханса. Обобщенная проблема Гильберта и теорема Попова.
  6. Категорный фактор для действия редуктивной группы на аффинном многообразии, его свойства. Примеры. Критерий Игусы.
  7. Взвешенные проективные пространства. Лемма Гротендика.
  8. Конструкция Мамфорда. Полустабильное и стабильные точки. Стабильные действия.
  9. Нуль-конус. Критерий Гильберта -- Мамфорда.
  10. Численный критерий стабильности. Примеры: бинарные формы, присоединенное представление, гладкие проективные гиперповерхности.
  11. Теорема об аффинном морфизме. Хороший фактор. Универсальное свойство фактора Мамфорда.
  12. $G$ - линеаризация линейных расслоений.
  13. Заключительные примеры: действие $SL_2$ на произведении проективных прямых, характеризация стабильности набора подпространств.

Литература

  1. D.Mumford, J.Fogarty, F.Kirwan, Geometric invariant theory, 3-d edition. Berlin, New-York: Springer-Verlag, 1994.
  2. I.Dolgachev, Introduction to Geometric Invariant Theory, Lecture Notes Series of the Seoul National University 25, Seoul, 1994.
  3. Э.Б.Винберг, В.Л.Попов, Теория инвариантов, Итоги науки и техники, ВИНИТИ, Совр. проб. мат., Фунд. направления -- 1989 -- том 55 -- стр. 137 -- 314.
  4. Х.Крафт, Геометрические методы в теории инвариантов, Москва: Мир, 1987.
  5. I.Dolgachev, Y.Hu, Variation of Geometric Invariant Theory Quotients, Preprint, 1997.
  6. N.~Ressayre, The GIT-Equivalence for $G$-Line Bundles, Geometriae Dedicata 81 (2000), 295-324.
Rambler's Top100