На главную страницу НМУ

А.Б.Скопенков

Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

Задачи к экзамену (Exam problems)

[Postscript (64K)|Zipped postscript (19K)]

Программа курса (предварительная)

Идеи теории препятствий развивают идею инварианта из `школьной' математики. Они являются общематематическими и применяются не только в топологии. На спецкурсе предполагается изучать эти идеи на примерах построений алгебраических препятствий к топологическим задачам о существовании и классификации непрерывных отображений, векторных полей, погружений и вложений.

От участников требуется наличие сообразительности, геометрической интуиции и минимальных начальных знаний по топологии (последние могут быть приобретены и в процессе спецкурса). Часть материала будет преподноситься в качестве задач для самостоятельного решения и последующего обсуждения на занятиях. В конце семестра желающие смогут сдать зачет и/или поразмышлять над нерешенными задачами по тематике спецкурса.

1. Гомотопическая классификация отображений
   • $S^n\to S^n$ (Основная теорема топологии);
   • $n$-комплекса в $S^n$ (Теорема Хопфа);
   • $n$-комплекса в $K(\pi,n)$ (Теорема Эйленберга-Маклейна);
   • $S^{n+1}\to S^n$ (Tеорема Понтрягина);
   • $(n+1)$-комплекса в $S^n$ (Теорема Стинрода).
2. Препятствие Ван Кампена к:
   • aппроксимации вложениями путей и циклов на плоскости;
   • планарности графов;
   • вложимости $n$-полиэдров в $R^{2n}$.
3. Характеристические классы как препятствия к
   • ориентируемости;
   • построению единичных касательных векторных полей (Теоремы Эйлера-Пуанкаре и Хопфа);
   • построению ортонормированных систем векторных полей (Теорема Штифеля);
   • погрузимости и вложимости многообразий (Теорема Уитни).
4. Фазовое пространство пар различных точек и препятствие Ву к вложимости полиэдров и многообразий в $R^m$.

Литература: Д. Реповш и А. Скопенков, Теория препятствий для начинающих, Мат. Просвещение, 4 (2000);

Д. Реповш и А. Скопенков, Новые результаты о вложениях полиэдров и многообразий в евклидовы пространства, УМН, 54:6 (1999), 61--109.