Это продолжение аналогичного семинара, проходившего в весеннем семестре 2000 года.
Примерная теметика: представления всевозможных групп (конечных, групп Ли, бесконечномерных и т.п.); некоммутативный гармонический анализ (то есть анализ при наличии большой группы симметрий), спецфункции,...
Начало занятий 18 января.
26 апреля, 19.10, ауд. 203
Неретин Ю.А. Пуассоновские процессы и полиморфизмы
26 April
Neretin Yu.A. Poisson processes and polimorphisms.
Пусть $H$ -- группа преобразований пространства $M$ с непрерывной вероятностной мерой, оставляющих меру квазиинвариантной.
Пусть $G$ -- группа преобразований пространства $N$ с непрерывной $\sigma$-конечной мерой, оставляющих меру квазиинвариантной с условием: $(g'-1)$ интегрируема.
Есть стандартный гомоморфизм $G$ в $H$, а именно рассматривается действие $G$ на пространстве $M$ пуассоновских конфигураций в $N$ (что это такое, будет сказано).
Каждая из групп $H$, $G$ вкладывается в свою полугрупповую оболочку, они состоят из размазывающих отображений (полиморфизмов). x
Цель доклада -- описать гомоморфизм полугрупп полиморфизмов, соответствующий вложению $G$ в $H$ (он задается довольно забавной комбинаторной формулой).
P.S. Известно много конструкций квазиинвариантных действий бесконечномерных групп $Q$ на пространствах с мерой. В каждом случае должно автоматически возникать представление полугрупповой (категорной) оболочки группы полиморфизмами. Цель работы -- понять степень содержательности задачи на одном из самых простых примеров (была еще работа Nelson, JFA,12, там речь шла о действии полугруппы операторов гильбертова пространства с нормой $\le 1$ полиморфизмами гауссавского процесса).
19 апреля
Исмагилов Р.С.
Произведения Рисса, хвостовые алгебры случайных блужданий и спектры
19 April
Ismagilov R.S.
Riesz products, tail algebras of random motions, and spectra.
Произведение Рисса -- это бесконечное произведение произведение неотрицательных тригонометрических многочленов первой степени. Интересен случай,когда оно расходится поточечно, но слабо сходится к неотрицательной мере (как правило,сингулярной относительно меры Лебега.) В докладе будет показано,что это произведение естественно связано со случайным блужданием по прямой, а упомянутая мера-это спектральная мера группы сдвигов, действующих на остаточной (хвостовой) алгебре случайного блуждания. Кроме того,некоторые параметры, входящие в произведение,задают коциклы этого действия.Это открывает путь к обобщению произведений Рисса на группы, в частности, некоммутативные. Возникают представления, порожденные некоммутативными произведениями Рисса. Будут также общие рассуждения о хвостовых алгебрах, действиях групп и их коциклах и пр..Все необходимые понятия (они-на уровне третьего курса мехмата) будут разъяснены.
19 апреля (четверг)
На спецкурсе (там же, 17.30) было сделано введение в гипергеометрические функции. Следующий раз -- разложение дифф.оператора по собственным функциям и формула обращения для индексного гипергеометрического преобразования (и следовательно для сферического преобразования).
Четверг 12 апреля (12 April)
Неретин Ю.А.
Ассоциаэдрон и сфероморфизмы
Neretin Yu.A.
Associahedron and spheromorphisms
Ассоциаэдрон -- это не лишенный замысловатости многогранник, определенный Stasheff'ым в 1964. Его вершины находятся во взаимно однозначном соответствии с всевозможными способами расстановки скобок в произведении $$x_1 x_2 ... x_n$$ две вершины соединены ребром, если от одной расстановки скобок можно перейти к другой одним применением правила ассоциативности. Отсюда название (впрочем грани размерности $>1$ так не описываются).
Он же (ассоциаэдрон) неявно присутсутствует в работе Карпелевича по геометрии геодезических и по асимптотике решений уравнения Лапласа на симметрическом пространстве(1964); он же является вещественной формой пространства модулей Deligne'я--Mumford'а (1967) для конфигураций точек на сфере Римана; он же появлялся у Дринфельда в связи с асимптотикой уравнения Книжника--Замолодчикова; он же получается раздутием симплекса по Fulton'у--Macpherson'у. Я про все это говорить НЕ БУДУ.
Цель доклада -- явно описать ассоциаэдрон, а также действие группы сфероморфизмов( = шароморфизмов) на бесконечномерной версии ассоциаэдрона (или точнее на бесконечномернорй версии пространства модулей).
За мной также --- расширение группы сфероморфизмов с помощью группы кос и группы Тейхмюллера.
На спецкурсе (четверг, 12 апреля, 17.30, там же) я должен буду выводить формулу обращения для индексного гипергеометрического преобразования.
Четверг 5 апреля (April 5)
Неретин Ю.А.
О комбинаторном аналоге группы диффеоморфмзмов окружности.
Neretin Yu.A.
On the combinatorial analogue of the group of diffeomorphisms of the circle
Дерево Брюа-Титса -- это (бесконечное) дерево, у которого из каждой вершины выходит $p+1$ ребро. Группа шароморфизмов (spheromorpisms) -- это некоторая естественная группа преобразований дерева Брюа--Титса (Bruhat--Tits), содержащая группу автоморфизмов.
Группа шароморфизмов $Shar$ во многом похожа на группу диффеоморфизмов окружности $Diff$. В частности, для $Shar$ частично выживает теория представлений $Diff$. С дpугой стороны $Shar$ -- объект явно более простой, поэтому с помощью нее можно пытаться что либо понять о $Diff$.
Предполагается обсудить
March 29
Ольшанский Г.И.
Гауссовский предел для Планшерелевского роста диаграмм Юнга
Olshanski G.I. Gauss limit for Plancherel growth of Young diagrams.
Продолжение рассказа от 15 марта
22 March, 19.10
Сергеев, Ал-р Н.
Супераналог операторов Калоджеро и супермногочлены Джека
Sergeev A.N. (Balakovo, Saratovskaya oblast')
Superanalogues of Calogero oprators and super-Jack polynomials
Рассматриваются "радиальные части операторов Лапласа" для некоторых супералгебр Ли. Это обычные (без всяких нечетных переменных) дифференциальные операторы в некотором пространстве "суперсимметричных" фунций $f$ от переменных $x_1,\dots,x_\alpha y,_1,\dots,y_\beta$; более точно, в пространстве многочленов от суперсумм Ньютона $$x_1^n+ \dots x_\alpha^n+(-1)^n \tau(y_1^n+\dots y^n_\beta)$$ ($\tau$ -- параметр) В случае отсутствия переменных $y$ -- это обычные радиальные части операторов Лапласа (в случае присутствия $y$ они очень похожи на операторы Лапласа по внешнему виду, но более сложны).
Показывается, что собственные функции этих операторов -- это супермногочлены Джека, введенные ранее Ольшанским. Они получаются из обычных многочленов Джека по следующему алгоритму: многочлены Джека выражаются через Ньютоновские суммы, а далее Ньютоновские суммы суперизуются в описанном выше смысле.
Неформальный вопрос за пределами рассказа --- возможна ли более общая теория сферических функций, т.е. есть ли суперизация гипергеометрических функций (Хекмана-Опдама) в этом смысле.
Рассказ Ольшанского об асимптотическом поведении диаграмм Юнга, начатый 15 марта, предположительно будет продолжен 29 числа
15 марта
Г.Ольшанский
Гауссовский предел для планшерелевского роста диаграмм Юнга (по С.В.Керову)
На множестве диаграмм Юнга с фиксированным количеством клеток n можно задать вероятностную меру, называемую мерой Планшереля и имеющую наглядную интерпретацию в теории представлений. Наряду с равномерной мерой, мера Планшереля имеет фундаментальное значение в асимптотической комбинаторике. Мы обсудим задачу об асимптотических свойствах случайных диаграмм Юнга (распределенных по мере Планшереля) при стремлении параметра n к бесконечности.
Задача имеет несколько аспектов. Во второй половине 70-х Logan-Shepp и Вершик-Керов нашли закон больших чисел. А именно, они доказали, что график типичной планшерелевской диаграммы, после подходящей естественной нормировки, приближается к некоторой универсальной кривой Омега. Вершик и Керов поставили также вопрос о центральной предельной теореме, которая описывала бы флуктуации случайных диаграмм относительно кривой Омега.
Решение было найдено Керовым, опубликовавшим анонс в 1993. Его результат очень красив. Примерно в 1999, уступая нашим с Ивановым просьбам, Керов вернулся к своей работе и нашел более простой вывод теоремы, а также ее связь со свободной теорией вероятностей Войкулеску. В конце 1999 он сделал набросок своего нового подхода и начал писать подробное изложение, оставшееся незаконченным.
Я постараюсь рассказать эту замечательную центральную предельную теорему Керова и ее связи с Войкулеску, а также с центральной предельной теоремой для спектров случайных матриц.
Еще один аспект связан с микроструктурой границы случайной планшерелевской диаграммы: он был изучен в недавней работе Бородина, Окунькова и моей. В чем-то сходные, а в чем-то различающиеся результаты были получены для равномерной меры (Вершик, Окуньков, ...). Все вместе это составляет новую, далеко не законченную, главу асимптотической комбинаторики.
1 Марта ауд 203, 19.10
Попов В.Л. Стягивание действий редуктивных групп.
Popov V.L. Contraction of actions of reductive groups.
Рассматривается действие редуктивной группы $G$ на аффинном многообразии $X$. [Пример: любое однородное пространство редуктивной группы по редуктивной подгруппе]. Строится некоторое каноническое многопараметрическое вырождение этого действия. Структура $G$-модуля в алгебре (регулярных) функций на $X$ остается неизменной, но мультипликативная структура в алгебре функций резко упрощается. Тривиальный [и нехарактерный ввиду тривиальности] пример -- вырождение гиперболоида на конус.
Предполагается обсудить различные приложения и внешние связи этой конструкции.
22 февраля
Граев М.И. Многомерные гипергеометрические функции в смысле Гельфанда и приложения к теории конечномерных представлений GL(n,C).
Graev M.I. Multidimensional hypergeometric functions in the Gelfand sense and applications to representation theory of GL(n,C).
В 1986г. Гельфанд ввел общие гипергеометрические системы уравнений, связанные с крмплексными грассманнианами. Их решения включают как частный случай почти все классические гипергеометрические функции. В докладе будут обсуждены решения этих систем дифф. уравнений и их дифференциально-разностных аналогов, а также связи этих решений с матричными элементами конечномерных представлений группы GL(n,C).
15 февраля, ауд. 203, время 19.10
ЕЩЕ РАЗ - ВРЕМЯ 19.10, прошу прощения, у меня иначе не получается.
Кацыло П.И.
Каноническая структура квазипроективного многообразия на множестве рациональных кривых степени $d$ в $P^n$.[= каноническая граница множества рациональных кривых= каноническая компактификация их же (Ю.А.)]
Рассмотрим множество $M(d)$ связных рациональных кривых степени $d$ в комплексном проективном пространстве $P^n$. Более-менее понятно, что на $M(d)$ канонически определена структура комплексного многообразия, причем некомпактного. Мы хотим построить компактификацию. Известны и хорошо изучены 2 компактификации: с помощью схемы Гильберта и algebraic stacks. Обе эти конструкции достаточно сложны и докладчик не принадлежит к числу тех немногочисленных экспертов, которые в них детально разбираются.
Цель доклада - изложить современным языком старинную конструкцию Кэли и Чжоу, позволяющую определить "координаты Чжоу" и, в частности, канонически определить компактификацию $M(d)$. Эта компактификация имеет простой геометрический смысл: замыкание состоит из кривых степени d в $P^n$ с рациональными компонентами (компоненты могут совпадать).
8 февраля 2001
Ю.А. Неретин. Симметрические пространства, матричное двойное отношение и форма Березина.
Neretin Yu.A. Symmetric spaces, matrix double ratio, and Berezin forms.
Одна цель доклада (и большая по времени часть) -- описать однотипные геометрические модели для (вообще говоря псевдоримановых) симметрических пространств. Точка симметрического пространства -- пара подпространств линейного пространства: удовлетворяющих простым геометрическим условиям.
Вторая цель -- попытаться понять правильную постановку задачи анализа на таких пространствах. Стандартный подход связаный с $L^2$-скалярным произведением, по-видимому, недостаточен. Как сейчас ясно, в случае римановых симметрических пространств более богатая теория получается, если рассмотреть скалярные произведения Березина (сама $L^2$-теория остается в качестве предельного случая).
1 февраля 2001
Неретин Ю.А. Задача об отделимом факторе. 2
Neretin Yu.A. Problem on separated quotient. 2
Предполагается
P.S. Пространство "complete quadrics" имеет бесконечно длинную историю и восходит к попыткам объяснить безумным вычисленияем Chasles'я (1864) и Schubert'а (1879) из геометрии квадрик, само oно введено Study (1881) для двумерных квадрик и Semple'м (1945) в общем случае.
25 января 2001
Неретин Ю.А. Задача об отделимом факторе по действию
группы. I
Neretin, Yu.A. Problem of separated quotient. I.
Пусть есть действие [некомпактной] группы на некотором пространстве (многообразии). Пространство орбит, как правило, не отделимо, в то время как фактор-пространство по разным причинам бывает необходимым. Простейшая конструкция фактора в такой ситуации -- спектр алгебры инвариантных функций. Однако достаточно типична картина, когда инвариантных функций нет совсем.
В последей ситуации есть три конструкции, по-существу однотипные, но различающиеся по степени изощренности (далее она идет по убыванию)
Есть некоторый зверинец примеров, когда такой фактор (quotient) был явно описан (Kapranov, Записки семинара Гельфанда, AMS; Неретин, Функ.Ан, 96), так могут произведены граница симметрического пространства Semple--Satake--De Concini--Procesi, пространство модулей Deligne--Mumford в случае рода 0 (только), ассоциаэдрон Stasheff'а, пермутоассоциаэдрон, граница Карпелевича. Все эти объекты очень просто получаются из очень простых действий групп.
Цель доклада -- описать конструкцию фактора и какой-нибудь пример.
18 января 2001.
Зеликин М.И. Матричное уравнение Рикатти и элементы геометрия грассманиана
Обычное уравнение Рикатти возникает из линейного дифура второго порядка переходом к переменной $y'/y$. Матричное уравнение Рикатти получается точно так же из линейной системы второго порядка. Оно само является элементом геометрии грассманиана ($\simeq$ симметрического пространства); скажем, получается выделенное семейство кривых на грассманиане. С другой стороны это уравнение имеет забавные связи с геометрией многомерного двойного отношения Хуа Ло Кена.
