[Gzipped postscript (163K)|Zipped postscript (163K)]
The figures are in two separate jpg-files:
[Figures 1-5 (254K)|Figures 6-12 (336K)]
A. Основные определения. Погружения поверхностей в $R^3$ и основная проблема их классификации с точностью до регулярной гомотопии и кобордизма. Представление погруженной поверхности семейством сечений. Примеры поверхностей (действующие лица).
B. Особые точки проекции погруженной поверхности на плоскость, (складки и сборки) построенные по семейству сечений. $I$-структура погруженной поверхности и методы ее построения. $I$-структура погружений 1-5.
A. Определение групп $Imm^o(n,1)$ и $Imm^{so}(n,1)$. Геометрическое описание их образующих.
B. Конструкция Понтрягина -Тома для кобордизма вложенных многообразий с заданной структурой нормального расслоения. Принцип Смейла-Хирша и теорема Уэлса. Классифицирующие пространства $QRP^{\infty}$, $QS^1$ для групп $Imm^o(n,1)$, $Imm^{so}(n,1)$ кобордизма погружений. Стабильные гомотопические группы сфер $\Pi(n)$ как группы кобордизма погружений ориентированных $n$-многообразий в евклидовом $n+1$-пространстве. [Sz].
C. Методы вычисления 2-кручений гомотопических групп классифицирующих пространств. Алгебра Стинрода. Соотношения Адема. Высшие опрераторы Бокштейна. Различие высших операторов Бокштейна для локально конечных и локально бесконечных клеточных пространств. Пространства Эйленберга-Маклейна. Натуральные системы Постникова (для односвязных пространств). Спектральная последовательность Серра расслоения. Случай метастабильной размерности. Связь трансгрессии и $k$-инвариантов. Лемма Бокштейна. Методы вычисления дифференциалов. [M-T].
D. Вычисления групп $Imm^o(n,1)$, $Imm^{so}(n,1)$ $n = 0,1,2$ методами теории гомотопий. $Imm^{so}(0;1)$ степень отображения. $Imm^{so}(1;1)$ инвариант Хопфа, первое убивающее пространство. $Imm^{so}(2,1)$ второе убивающее пространство. $Imm^{o}(2;1)$ применение леммы Бокштейна. Вычисление гомоморфизма $Imm^{so}(2,1) \to Imm^{o}(2,1)$. [M-T].
E. Композиции в стабильных гомотопических группах сфер. Детектирование степени отображения $S^n \to S^n$ операторами Бокштейна, инварианта Хопфа $S^{n+1} \to S^n$ операцией $Sq^2$, композиции $S^{n+2} \to S^{n+1} \to S^n$ cоотношением Адема $Sq^2 Sq^2 + Sq^3 Sq^1 =0$. [M-T]
F. Прибавление: Гомоморфизм Кана-Приди $Imm^o(n,1) \to Imm^{so}(n+1,1)$, $n=0,1$. Kомпозиция в гомотопических группах сфер $S^{n+2} \to S^{n+1} \to S^n$ как декартово произведение погружений. [K].
A. Постановка задачи: описать инвариант класса кобордизма как инвариант первого порядка в смысле Васильева.
B. Устойчивые отображения. Нормальная локальная форма устойчивых отображений. Устойчивые отображения $M^2 \to R^2$, $M^3 \to R^3$, $M^2 \to R^3$, $M^3 \to R^3$, $M^3 \to R^4$. Классификация локальных нормальных форм. Классификация мультиособенностей устойчивых отображений. [A1].
С. Особенности $I$-структуры для отображений $M^3 \to R^4 \to R^3$ (рис. 1). Дискриминант особенностей $I$-структуры для отображений $M^2 \to R^3 \to R^2$.
D. Целочисленный коцикл особенностей $I$-структуры. Первая формула для класса кобордизма $Imm^o(2,1)$. Вторая формула для класса кобордизма $Imm^o(2,1)$. Примеры вычисления класса кобордизма для примеров 1-5. Пример вычисления алгебраического числа особенностей $I$-cтруктуры коразмерности 1 при регулярной гомотопии двух устойчивых погружений и гомотопии двух устойчивых отображений.
E. Прибавление 1. Сферические функции и метод годографа. Лежандровы многообразия и отображения. Особенности лежандровых поверхностей и их однопараметрических деформаций. Отображение Лежандра сферической функции, принцип "исчезновения" диполя. Теорема Максвелла для пространства квадруполей. [A1,A2, A3].
F. Прибавление 2. Пространство псевдоизотопий. Теорема Серфа о гомотопическом типе пространства псевдоизотопий. Нормальные формы особенностей $n$-параметрических семейств функций, $n=1,2$. Диаграмма Серфа $n$-параметрического семейства функций, $n=1,2$. Проблема вычисления гомотопического типа пространства псевдоизотопий замкнутого многообразия высокой размерности. [H-W].
A. Классификация классов регулярной гомотопии погруженой поверхности (ориентированной) классом изоморфизма $Z/4$-квадратичной формы ($Z/2$-квадратичной формы). Классификация классов кобордизма погруженой поверхности (ориентированной) инвариантом Брауна $Z/4$-квадратичной формы (Аrf- инвариантом $Z/2$-квадратичной формы). Примеры вычислений. [G-M].
В. Проблема реализации, распроектирования и аппроксимации. Эквивалентность проблемы реализации и аппроксимации в $R^4$ для устойчивых отображений ориентированной поверхности $M^2 \to R^3$. Инварианты Масси трехкомпонентных зацеплений длины 1 как инвариантов $\delta$-движений диаграмм трехкомпонентных зацеплений. Эквивалентность задачи аппроксимации и распроектирования в $R^4$ для устойчивых отображений ориентированной поверхности $M^2 \to R^3$. Локальная $Prem$-структура. Полное препятствие к задаче распроектирования. $Arf$-инвариант как частичное препятствие к задаче распроектирования. Задача о классификации локальных $Prem$-структур для погруженной ориентированной поверхности с точностью до регулярной гомотопии и кобордизма.
C. Прибавление. Формула Виро-Поляка для инвариантов Милнора трехкомпонентных зацеплений длины 1. [V-P]
[M-T] Р.Мошер, М. Тангора. Когомологические операции и их приложение в теории гомотопии. Москва Мир 1970.
[A1] Арнольд В.И., Варченко А.Н. Гуссейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Наука Москва 1982.
[A2] Арнольд В.И. Topological invariants of plane curves and caustics. University Lecture Series Vol. 5, AMS 1994.
[A3] Арнольд В.И.
[H-W] Hatcher A. and Wagoner J. Pseudo-Isotopies of Compact Manifolds, Asterisque 6, 1973.
[P-V] Polyak M. and Viro O. Gauss diagram formulas for Vassiliev invariants. International Mathematical Research Notices 1984 N11.
[K] Koschorke U. Multiples points of immersions and Khan-Priddy theorem, Math Z. 169, (1979) 223-236.
[Sz] Szucs A. Two theorem of Rokhlin, Записки ученых семинаров ПОМИ т. 267 (2000) 274-281
[G-M] Guillou L., Marin A. В поисках утраченной топологии. Мир 1989, Москва.
