[Postscript (54K)|Zipped postscript (54K)]
С одной стороны, ''в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений нет единой теории уравнений с частными производными'' (В.И. Арнольд. Лекции об уравнениях с частными производными, М., 1997). С другой стороны, все же можно обнаружить некоторые общие идеи, в определенной мере соединяющие различные части этой обширной области математики, тесно переплетающейся с физикой. К таким идеям можно отнести метод ''бегущих волн'' (метод характеристик), метод ''стоячих волн'' (гармонический анализ), принцип ''экстремального действия'' (вариационный метод). В предлагаемом курсе эти идеи анализируются по схеме: возникновение => обобщение в линейном случае => нелинейный вариант. Изложение рассчитано на студентов 2-5 курсов. Более специальные сведения (в том числе по функциональному анализу и группам Ли) предполагается сообщать по ходу изложения, так что в определенной мере курс может служить и некоторым введением в методы функционального анализа и групп Ли.
Что может пониматься под термином ''дифференциальное уравнение''? ОДУ, УрЧП, ФДУ (функционально - дифференциальные уравнения), УМВ (уравнения с многомерным временем, etc).
Схема построения общей теории УрЧП с использованием аналитических функций многих переменных}. Контрпример Ковалевской и (контр)пример Адамара.
Уравнения с частными производными первого порядка. Пфаффовы системы и их интерпретация, как УМВ. Примеры орбит для УМВ в $\mathbb{R}^3$ при $t \in \mathbb{R}^2$. Уравнения с частными производными первого порядка и их связь с группами и алгебрами Ли. Пример применения: принцип суперпозиции в нелинейных задачах.
Факторизация одномерного волнового оператора. Обобщения. Волны от движущегося источника. Что будет, если скорость движения источника выше скорости звука?
''Бегущие волны'' и метод характеристик для гиперболических систем линейных и квазилинейных уравнений. Канонические формы Шаудера и Римана. Пример - волны в нелинейных одномерных средах. Волны Римана. ''Истинно нелинейные'' (в смысле Лакса) системы.
''Бегущие волны'' для нелинейных уравнений высших порядков. Примеры: уравнение Буссинеска, уравнение КДФ, квазилинейное уравнение теплопроводности.
Схема метода Фурье. Дисперсионные соотношения. Примеры.
Линейные уравнения высших порядков. Нестрого гиперболические (в смысле Гординга) уравнения и их связь с проблемой Ферми - Паста - Улама.
''Стоячие волны'' в нелинейных задачах. Связь с колмогоровскими поперечниками соболевских классов функций.
Принцип экстремального действия. Задачи.
Задача о минимуме квадратичного функционала. Положительно определенные операторы. Энергетическое пространство. Обобщенное решение и его интерпретация. Простейший вариант теоремы вложения Соболева. Пример: уравнение четвертого порядка (уравнение Софи Жермен).
Вариационный подход в нелинейных задачах.
