На главную страницу НМУ

И.В.Аржанцев (I.Arjantsev)

Представления классических групп (Representations of classical groups)

Exam problems

[Postscript (32K)|Zipped postscript (13K)]

Программа:

  1. классические группы и их касательные алгебры Ли; описание полупростых и простых классических алгебр Ли;
  2. представления классических групп и алгебр Ли, теорема Вейля о полной приводимости; подалгебра Картана и явный вид корневого разложения; описание неприводимых представлений полупростой алгебры Ли в терминах представлений ее компонент; неприводимые представления алгебры Ли sl(2);
  3. sl(2)-тройки, отвечающие корневым элементам; решетка корней и решетка весов; доминантные веса; теорема существования и единственности для старшего веса неприводимого представления; группа Вейля;
  4. алгебра Клиффорда и спинорные представления ортогональной алгебры Ли; спинорная группа;
  5. веса представления; описание многогранника весов;
  6. диаграммы и таблицы Юнга; групповая алгебра симметрической группы и симметризатор Юнга; описание неприводимых представлений симметрической группы; формула крюков (без доказательства);
  7. конструкция Вейля для GL(V) --- описание неприводимых представлений; связь между представлениями GL(V) и SL(V); старший вес, отвечающий диаграмме Юнга; старший вес сопряженного модуля;
  8. без доказательства: описание конструкции Вейля в терминах соотношений Плюккера; полустандартные таблицы, размерности неприводимых модулей и числа Костки как кратности весов в неприводимом модуле; правило Литлвуда-Ричардсона и формулы Пиери;
  9. конструкция Вейля для Sp(V): применение классической теории инвариантов и теорема Лефшеца о внешних формах;
  10. конструкция Вейля для O(V) (схема доказательства).

Литература

[1] W. Fulton and J. Harris, Representation Theory (a First Course), GTM 129, Springer-Verlag, 1991.

[2] Э. Б. Винберг и А. Л. Онищик, Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, М.: Наука, 1988.

[3] М. Гото и Ф. Гроссханс, Полупростые алгебры Ли, М.: Мир, 1981.

[4] Дж. Хамфрис, Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, М.: МЦНМО, 2003.

[5] W. Fulton, Young Tableaux, LMSST 35, Cambridge Univ. Press, 1997.

[6] Э. Б. Винберг и В. Л. Попов, Теория инвариантов, М. ВИНИТИ, том 55 (Алг. геом. -- 4), 1989.

Rambler's Top100