А.Л.Городенцев, А.С.Лосев (A.Goroentsev, A.Losev)

Квантовые системы и геометрия:
туда и обратно
(Quantum systems and geometry: there and back again)

Листки (Exercise sheets)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of ghopstview)

Zipped postscript

Семестровый спецкурс для начинающих, с множеством задач

Нам хотелось бы, следуя от частного к общему (т.е. от примеров к общей теории), показать, как классическая гамильтонова механика и ее симплекто-геометрическая модель (понимаемые в духе книги В.И.Арнольда) возникают из более фундаментальных квантовой механики и ее алгебро-геометрической модели переходом к "квазиклассическому пределу", а также обсудить и обратную задачу: как по данной геометрической и/или механической модели построить квантовую теорию, квазиклассическим пределом которой она является. Курс не требует никаких специальных познаний, выходящих за рамки стандартного первого курса математики НМУ (т.е. требуется знание линейной алгебры, опыт вычислений с матрицами и многочленами, плюс идея многообразия как "чего-то склеенного из стандартных локальных карт").

Примерная программа курса

Квантовая механика с конечномерным пространством состояний (динамика унитарных преобразований конечномерного пространства; наблюдаемые как эрмитовы операторы; теоретико-вероятностная интерпретация измерений).
Представления $\gsu(2)$ как квантовомеханическая система (структура неприводимых представлений; когерентные состояния и описание динамики в терминах когерентных состояний).
Алгебраические векторные расслоения на $\CC\PP_1$ и геометрия кривых Веронезе (описание обратимых пучков и его связь с теорией представлений $\gsu(2)$; когерентные состояния и проективные вложения кривой Веронезе; проективная координатная алгебра $\PP_1$).
Квазиклассический предел в представленческих и геометрических терминах, а так же с точки зрения когерентных состояний (как коммутативная проективная алгебра возникает из квантовой; описание универсальной обертывающей алгебры $\gsu(2)$ как деформации коммутативной алгебры; возникновение симплектической структуры на пространстве инфинитезимальных деформаций; классическая гамильтонова динамика как предел квантовой).
Локализация в неподвижной точке действия $\CC^*$ (и/или $\GU(1)$) на $\CC\PP_1$ и гармонический осциллятор (возникновение гильбертова пространства состояний квантового осциллятора как заданного специальными асимптотическими условиями подпространства в прямом пределе конечномерных пространств квантовых состояний; классический предел этого соответствия как локализация гамильтоновой динамики в неподвижной точке действия $\CC^*$).
Расширение круга геометрических примеров: $\PP_n$ и флаги в $\PP_3$ (голоморфные сечения линейных расслоений и теория представлений, соответствие между голоморфным квантованием по Березину и представленческим квантованием по Кириллову, квазиклассический предел).
Торические многообразия: алгебраическая геометрия (язык точек и язык функций, спектр торической алгебры, глобальные однородные координаты и проективные алгебры, линейные расслоения на торических многообразиях)
Торические многообразия: симплектическая геометрия (гамильтонова редукция торического действия, модель Дельцана, сравнение вещественной и комплексной поляризации)
Квантовая проективная алгебра торического многообразия. Квазиклассический предел.
На сколько позволит время: построение голоморфных сечений расслоений квантования по бор-зоммерфельдовым слоям вещественных поляризаций ($\GU(1)$-связности на симплектическом многообразии, комплексная и вещественная поляризации, лагранжевы, специальные лагранжевы, бор-зоммерфельдовы и планковы циклы и их алгебро-геометрические свойства).