А.М.Филимонов

Уравнения с частными производными (вводный курс)

Комментарий

Курс носит вводный характер и сопровождается большим количеством модельных примеров и физических интерпретаций. Настоящий курс можно рассматривать, как продолжение курса, прочитанного в предыдущем семестре. Однако, изложение материала почти не будет опираться на этот предыдущий курс. Необходимые сведения из предыдущего будут кратко напоминаться с указанием литературных источников, из которых можно почерпнуть детали. Необходимые сведения по функциональному анализу будут сообщаться по ходу изложения. Курс этого семестра можно будет сдавать, как отдельный курс.

Программа

Метод "бегущих волн".: Факторизация одномерного волнового оператора. Обобщения. Пример: система Дирака. Волны от движущегося источника. Что может быть, если скорость движения источника выше скорости звука? Некоторые обобщения идеи "бегущей волны". Многомерные варианты.
Метод "стоячих волн".: Спор о струне между Эйлером, Д'Аламбером, Бернулли и Лагранжем. Метод Фурье. Можно ли узнать по звуку форму барабана? Особенности спектральных задач для ограниченных и неограниченных областей. Уравнение Шредингера. Связь возможности разделения переменных и симметрия области. Преобразование Фурье и его применение. Линейные уравнения высших порядков. Парадокс КМФ. Связь с линейным вариантом проблемы Ферми-Паста-Улама.
"Стоячие волны" в нелинейных задачах.: Что из метода Фурье может пригодиться в нелинейных задачах? Сильно нелинейный вариант проблемы Ферми-Паста-Улама. Связь с колмогоровскими поперечниками соболевских классов функций.
Вариационный метод.: Вариационный метод. Принцип наименьшего действия. Всегда ли действие является наименьшим? Задача о минимуме квадратичного функционала. Энергетическое пространство. Обобщенное решение и его интерпретация. Простейшие варианты теорем вложения Соболева. Следы. Пример: уравнение четвертого порядка (уравнение Софи Жермен). Экстремальные свойства собственных значений. Метод Ритца. Теорема Канторовича. Вариационный подход в нелинейных задачах.