Е.Смирнов (E.Smirnov)

Грассманианы и многообразия флагов (Grassmannians and flag varieties)

(рекомендовано для 3 курса)

Домашний экзамен (Take-home exam)

[Postscript (39K)|Zipped postscript (17K)]

Грассманианы. Вложение в проективное пространство, координаты Плюккера. Соотношения Плюккера.
Клетки и многообразия Шуберта. Описание примыканий в терминах диаграмм Юнга. Стандартные мономы. Описание однородного идеала и координатного кольца грассманиана.
Комбинаторное отступление: многочлены Шура. Таблицы Юнга. Jeu de taquin. Правило Литтлвуда--Ричардсона.
От комбинаторики к геометрии: многочлен Гильберта для многообразий Шуберта, теория пересечений на грассманианах.
Многообразия частичных флагов; шубертовское разложение. Порядок Брюа на симметрической группе и его связь с клеточным разложением многообразия полных флагов.
Множества особенностей многообразий Шуберта для грассманианов и полных флагов. Разрешение особенностей.
(если хватит времени) Кратные многообразия флагов конечного типа.

Изложение рассчитывается в основном на третьекурсников.

Preliminaries

От слушателей требуется знание начал алгебраической геометрии (книжки М.Рида "Алгебраическая геометрия для всех" точно хватит). Также желательно иметь некоторое представление о том, что такое сингулярные и клеточные (ко)гомологии.

Литература

[F] William Fulton. Young tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry. Cambridge Univ. Press, 1997.

[M] Laurent Manivel. Fonctions symetriques, polynomes de Schubert et lieux de degenerescence. Societe Mathematique de France, 1998 (имеется также перевод на английский).

Курс планируется начать в марте, так что всего будет 8--10 лекций.