А.Н.Минченко (A.Minchenko)

Системы корней и группы Вейля (Root systems and Weyl groops)

Экзамен (Exam)

[Postscript|Zipped postscript]

(рекомендовано для студентов 2-3 курса)

Программа курса

Классические алгебры Ли, их системы корней. Отражения.
Абстрактная система корней, ее группа Вейля. Зеркала и камеры. Фундаментальность камеры Вейля. Система простых корней. Порождаемость группы Вейля простыми отражениями.
Двойственная система корней. Решетки корней и весов. Компоненты системы корней. Максимальный корень. Аффинная группа Вейля.
Дискретные линейные группы, порожденные отражениями (группы отражений). Матрица Кокстера и граф Кокстера. Ассоциированная билинейная форма. Критерий конечности группы отражений. Неприводимые бесконечные аффинные группы отражений как аффинные группы Вейля.
Классификация конечных групп отражений. Кристаллографические группы. Явные конструкции для систем корней. Исключительные группы отражений.
Инварианты групп отражений. Теорема Шевалле--Шепарда--Тодда.
Элемент Кокстера. Показатели. Формула Соломона.
Замкнутые симметричные подсистемы систем корней, соответствующие им Π-системы. Теоремы Дынкина.
Модификации диаграмм Дынкина. Классификация Π-систем.

Рекомендованная литература

Н. Бурбаки Группы и алгебры Ли, главы IV---VI.-М.: Мир, 1972.

Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам.-М.: Наука, 1988.

Ж.П.Серр. Алгебры Ли и группы Ли.-М.: Мир, 1969. J. Humphreys. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge University Press, 1990.

Э.Б.Винберг, О. В. Шварцман. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Итоги науки и техники, ВИНИТИ, Совр. проб. мат., Фунд. направления, том 29 (Геометрия-2), 1988, стр. 147 - 264.

L. Solomon. Invariants of finite reflection groups. Nagoya Math. J., v. 22, 1963, стр. 57---64.

Е. Б. Дынкин. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли. Матем. сб. 30, N2, 1952, стр. 349---462.