На главную страницу МЦНМО-НМУ

А.Л.Городенцев

Геометрия, второй семестр

Подробная программа курса за весь год(постскрипт-файл)

[Программа курса за весь год(177K)]

Краткая программа курса в весеннем семестре

1. Игры с плоскими кониками (продолжение).
   Теорема Паскаля, поризм Понселе, проективная теория аффинных и вещественных евклидовых коник.
2. Ортогональная геометрия квадратичных форм (над любым полем).
   Всякое ортогональное преобразование n-мерного пространства является композицией не более 2n отражений в гиперплоскостях. Геометрия гиперболической плоскости, гиперболические повороты и гиперболические функции. Всякое изотропное подпространство содержится в гиперболическом. Разложение пространства в ортогональную сумму гиперболического и анизотропного, ортогональная группа транзитивно действует на гиперболических и на изотропных подпространствах заданной размерности (теорема Витта). Классификация вещественных квадрик.
3. Неевклидовы геометрии.
   Вещественная геометрия неизотропных точек проективного пространства, ассоциированного с векторным пространством (над R или над C) с невырожденной формой сигнатуры (m,n): геодезические~--- это проективизации вещественных линейных подпространств, а длины, углы, площади, объёмы между ними вычисляются через скалярное произведение. Важные примеры: 2-мерная сферическая геометрия на P(C²) (с формой сигнатуры ++ на C²); 2-мерные плоскости Лобачевского в виде диска Бельтрами--Клейна на P(R³) (с формой сигнатуры ++- на R³) и двух дисков Пуанкаре на P(C²) (с формой сигнатуры +- на C²); вычисления в этих геометриях длин, углов, площадей; примеры движений, движения порождаются отражениями.
4. Геометрия кватернионов и спиноров.
   Комплексные 2x2 матрицы и кватернионы. Сопряжение данным кватернионом q является поворотом трёхмерного евклидова пространства чисто мнимых кватернионов на угол 2Arg(q) вокруг оси Im(q). Универсальные накрытия SU(2)→SO(3) и SU(2)xSU(2)→SO(4). Спинорное разложение 4-мерного евклидова пространства, два семейства келеровых структур на R⁴, параметризованные множеством прямых (т.е. S²∪S²) на квадрике Сегре.

   ЕСЛИ ОСТАНЕТСЯ ВРЕМЯ:

5. Группы, порождённые отражениями и системы корней.
6. Геометрия грассманианов (хотя бы Gr(2,4) и геометрия прямых в P₃).

Рекомендуемая литература: