Семинар не связан непосредственно с курсом «Асимптотическая теория представлений II». Цель семинара — обсуждение работ его участников и разбор поучительных статей на разные темы. Приглашаются все желающие.
Пятница, 7 мая 2010, 19:10, ауд. 308
Рабочее обсуждение
Пятница, 30 апреля 2010, 19:10, ауд. 308
Будет рассказано о некоторых примерах бесконечномерных марковских процессов, связанных с мерой Пуассона и распределением Пуассона-Дирихле. Предполагается неформальный доклад с обсуждением.
Пятница, 16 апреля 2010, 19:10, ауд. 308
Вадим Горин рассказывал 12 марта о q-аналоге границы графа Гельфанда-Цетлина (см. резюме доклада ниже). Теперь он расскажет о своем новом (еще не вполне законченном) результате, приводящем к q-аналогу понятий теплицевой матрицы и тотально положительной последовательности. Основные определения будут напомнены. Если время позволит, можно будет обсудить и другие сюжеты.
Пятница, 9 апреля 2010, 19:10, ауд. 308
Пятница, 2 апреля 2010, 19:10, ауд. 308
Рассматривается группа G -- прямое произведение k экземпляров группы SU(2) и подгруппа K -- образ все той же SU(2) относительно диагонального вложения в G. Тензорное произведение k неприводимых предcтавлений группы SU(2) задает неприводимое представление группы G. Подпространство его K-инвариантных векторов, вообще говоря, многомерно (если k>3). Рассматриваются матричные элементы для произвольных пар K-инвариантных векторов. Оказывается, что есть довольно простая производящая функция для всех таких матричных элементов.
Случай k=2 является классическим. Если k=3, то получается система ортогональных многочленов от трех переменных внутри поверхности Маркова x^2+y^2+z^2=2xyz+1.
Пятница, 26 марта 2010, 19:10, ауд. 308
Я расскажу о явной конструкции инвариантных вероятностных мер на некоторых бесконечномерных аналогах классических однородных пространств: половинного грассманиана (n-плоскости в 2n-мерном пространстве) и многообразия полных флагов. Все над конечным полем. Это совместная работа с А. Гнединым плюс некоторые новые соображения, которые появились благодаря замечаниям, высказанным Ю. Неретиным во время моего доклада на его семинаре 4 марта..
19 марта 2010 г.
Будет рассказано об алгебре Клиффорда и ее реализации с помощью операторов рождения и уничтожения в фермионном пространстве Фока. По теореме Вика (см., напр., $17 в книге Боголюбов, Ширков "Введение в теорию квантованных полей"), вакуумное среднее F(A_1....A_{2n})=(A_1... A_{2n} vac, vac) дается соответствующим пфаффианом. Будет рассказано о некоторых достаточных условиях, при которых этот пфаффиан может быть записан в виде детерминанта.
Излагаемые методы используются в работах Окунькова (arXiv:math/9907127v3 и arXiv:math/0002135v1), а также недавней работе докладчика arXiv:1002.2714v1 для получения детерминантных формул для корреляционных функций некоторых точечных процессов на решетке.
12 марта
Граф Гельфанда-Цетлина -- это граф ветвления неприводимых представлений унитарных групп растущих размерностей. Его вершинами являются сигнатуры -- конечные невозрастающие последовательности целых чисел. В классической ситуации каждому представлению (из определённого класса) бесконечномерной унитарной группы отвечает мера на путях в этом графе, обладающая специальный свойством центральности. Задача классификации неприводимых представлений в свою очередь сводится к описанию всех экстремальных центральных мер.
В докладе будет рассказано о q-версии этой конструкции, которую можно мотивировать как чисто комбинаторными соображениями, так и теорией представлений квантовых групп. Планируется рассказать о решении задачи классификации экстремальных q-центральных мер. В ходе доклада будут определены и активно использоваться q-интерполяционные многочлены Шура -- замечательный объект, подробно изученный А.Окуньковым.
5 марта
Рассматривается ансамбль случайных строгих разбиений, некоторым образом связанный с проективными представлениями симметрических групп. Этот ансамбль естественно интерпретировать как точечный процесс на решетке {1,2,3,...}, он оказывается детерминантным. Будет рассказано, как вычисления в фермионном пространстве Фока позволяют найти корреляционное ядро этого процесса.
26 февраля
19 февраля.
Теория тотально положительных матриц связана с различными областями математики, такими как теория представлений бесконечномерных аналогов классических групп, теория канонических базисов и пр. В том числе, изучение тотально положительных матриц инициировало начало теории кластерных алгебр.
Вещественная матрица (возможно бесконечная) называется тотально положитетельной, если все ее миноры неотрицательны.
Формальный степенной ряд
a(t) = 1 + a1t1 + a2t2 + ...
авторы называют тотально положительным, если бесконечная верхнетреугольная матрица B=(bij) с bii=1, bij=as для j-i=s является тотально положительной.
Образующие Шевалле ei(a) (соотв. fi(a)) --- это матрица с единицами на диагонали и числом "a" на (i,i+1)-ом месте (соотв. на (i+1,i)-ом месте).
Имеют место следующие теоремы:
1) (Loewner-Whitney) Пространство невырожденных тотально положительных матриц размера n x n есть мультипликативная полугруппа, порожденная образующими Шевалле ei(a) и fi(a) с положительными параметрами и положительными диагональными матрицами.
2) (Edrei-Thoma) Любой тотально положительный ряд может быть единственным образом представлена в виде
a(t)=egamma t prodi(1+alphai t)/prodi (1-^Heta_i t),
где {alphai} и {^Heta_i} -- две последовательности невозрастающих неотрицательных чисел с конечной суммой, и gamma --- еще один неотрицательный параметр.
В частности, тотально положительный формальный ряд является мероморфной функцией, голоморфной в окрестности 0.
На семинаре мы обсудим аналог теоремы 1 для полугруппы петель над тотально положительными матрицами, аналог теоремы 2 для матриц, элементами которых являются тотально положительные ряды, а также связь с планарными сетями на цилиндре.
12 февраля
