М.С.Вербицкий

Кривизна Риччи и топология

Дифференциально-геометрические методы в топологии успешно применяются со времен Пуанкаре. В последние 30 лет дифференциальная геометрия превратилась в один из главных методов топологии, ставший особенно популярным после работ Громова и Перельмана. Центральной темой в этой деятельности является извлечение топологической информации из оценок на кривизну Риччи. Я расскажу про основные применения кривизны Риччи и дам краткий очерк доказательства Перельмана гипотезы Пуанкаре. Курс рассчитан на аспирантов и старшекурсников; от слушателей предполагается знакомство с основами топологии (когомологии, накрытия, фундаментальная группа) и дифференциальной геометрии (связности, кривизна, геодезические).

Программа курса:

1. Связность Леви-Чивита (существование, единственность). Кривизна Риччи. Разложение тензора кривизны.
2. Неравенство Бишопа-Громова и теорема Майерса.
3. Функции Буземанна. Теорема Чигера-Громолла о разложении.
4. Метрика Громова-Хаусдорфа. Теорема Громова о компактности: множество многообразий с ограниченным сверху диаметром и ограниченной снизу кривизной Риччи прекомпактно в топологии Громова-Хаусдорфа.
5. (*) Теорема Перельмана о стабильности.
6. Потоки Риччи и схема доказательства теоремы Пуанкаре.
7. (*) Потоки Риччи на двумерных многообразиях (Гамильтон).
8. (*) Инвариант Перельмана и инвариант Ямабе.

Про (*) будет рассказано, если хватит времени.

Задачи для экзамена:

[Задачи.pdf (118K)|Задачи.ps (120K)|Задачи.zip (47K)]

Полезные книжки:
"Теория Морса" Милнора и "Знак и геометрический смысл кривизны" Громова.

а также:
Бессе А. Многообразия Эйнштейна [Том 1,2]
Topping P. Lectures on the Ricci Flow (2006, 133 pp.)
Gallot S., Hulin D., Lafontaine J. Riemannian geometry
Chow B., Lu P., Ni L. Hamilton's Ricci Flow [Volume 1,web draft ed.] (2005, 374 pp.)

Линки на архив.орг:
в соответствующей статье из Википедии:
Perelman, Grisha (November 11, 2002).
The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications.
Perelman, Grisha (March 10, 2003).
Ricci flow with surgery on three-manifolds.
Perelman, Grisha (July 17, 2003).
Finite extinction time for the solutions to the
Ricci flow on certain three-manifolds.
Bruce Kleiner, John Lott. Notes on Perelman's papers
Huai-Dong Cao, Xi-Ping Zhu. Hamilton-Perelman's Proof of
the Poincar Conjecture and the Geometrization Conjecture.
John W. Morgan, Gang Tian.
Ricci Flow and the Poincar Conjecture