А.В.Пенской

Оператор Лапласа-Бельтрами

Экзамен

Целью спецкурса является изложение элементов спектральной геометрии - области дифференциальной геометрии, изучающей связь римановой структуры на многообразии и спектра оператора Лапласа-Бельтрами и его собственных функций.

Основное направление курса: введение в теорию экстремальных метрик - совсем недавней части спектральной геометрии, в которой в 2000-е годы произошли заметные продвижения. Материал значительной части курса будет излагаться по статьям последних лет и не отображен в учебной литературе.

Программа курса:

- Оператор Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях.
- Спектр оператора Лапласа-Бельтрами (задачи Дирихле и Неймана).
- Вариационные принципы для собственных значений.
- Асимптотика собственных значений.
- Неравенства для собственных значений.
- Зависимость собственных значений от метрики, теорема Берже.
- Оптимизация собственных значений: экстремальные метрики.
- Экстремальные метрики и минимальные подмногообразия в сферах.
- Какие экстремальные метрики сейчас известны?
- Нодальные области.
- Ядро теплопроводности.