Георгий Игоревич Шарыгин

К-теория и ее приложения

Проводится в формате лекция+семинар.

Листки (Exercise sheets).pdf

Программа курса

0. Предварительные сведения из топологии -- напоминание (1 лекция).

1. Определения, основные свойства векторных (и не только) расслоений. Структурная группа и коцикл, ассоциированные с расслоениями. Восстановление расслоения по коциклу.

2. Главные расслоения и ассоциированные с ними. Главные расслоения как пространства со свободным собственным действием группы. Примеры. Вопрос о редукции структурной группы; препятствия к этому. Когомологии Чеха и простейшие харклассы.

3. Векторные расслоения и операции с ними. Изоморфизм расслоений, точные последовательности расслоений, изоморфизм обратных образов при гомотопных отображениях. Теорема Серра-Суона, пространства Грассмана.

4. К-теория, комплексная и вещественная. Точная последовательность в К-теории. Примеры.

5. Классифицирующие пространства (BU, BSO), их когомологии. Теорема о периодичности Ботта (комплексная). Теория алгебр Клиффорда и вещественная периодичность Ботта (набросок).

6. Характеристические классы (классические). Их свойства. Примеры вычисления. Харклассы как препятствия.

7. Приложения характеристических классов: векторные поля на сферах; теорема Адамса (об алгебрах с делением).

8. Гомотопическая топология расслоений: точная последовательность расслоения, спектральная последовательность расслоения. Примеры вычислений. Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха. Теорема о характере Чженя.

9. Теория связностей на главных и векторных расслоениях. Конструкция Чженя-Вейля. Вторичные классы Чженя-Саймонса.

10. Если будет время: теория индекса, введение и формулировка теорем.

11. Если будет время: элементы алгебраической К-теории (от Милнора и Квиллена до, может быть, Вальдхаузена).

12. Если будет время: циклические гомологии и их применение в К-теории по Конну, Каруби и другим.