Этот курс засчитывается в НМУ, а также как факультатив в МФТИ.
Лекции читаются в МФТИ по вторникам последней парой 18:35 - 20:00 в ауд.533ГК.
Все видео курса.
К каждой лекции выкладываются листки с задачами. Каждая сданная задача (пункт) учитывается как +1% оценки за экзамен (но не более 49% суммарно). В конце семестра будет проведён письменный экзамен.
Вот чат слушателей курса. Ещё можно писать мне в телеграм или на почту ryabichev@179.ru. Если у вас нет пропуска МФТИ, но вы хотите посещать курс, пожалуйста напишите мне заранее.
10 февраля, лекция 2. Многообразия, касательные расслоения. Пространство струй. Топология Уитни на пространстве гладких отображений. Теорема Тома о трансверсальности.
3 февраля, лекция 1 (видео). Теорема Смейла-Хирша о погружениях, теорема Филлипса о субмерсиях. Критические точки и критические значения, лемма Сарда. Ростки, RL-эквивалентность, особенности. Пример: особенность типа складки (в коразмерности 0), задача о существовании погружения с заданным множеством складок сферы в плоскость. Задачи к лекции 1.
В этом курсе мы погрузимся в отдельную область дифференциальной топологии — глобальную теорию особенностей, а более конкретно — в задачи о построении отображений с заданными особенностями.
Самая простая из таких задач — построение погружения (отображения со всюду невырожденным дифференциалом, то есть попросту без особенностей). Оказывается, задача о существовании погружения между заданными многообразиями полностью определяется их касательными расслоениями, и таким образом редуцируется к чисто гомотопической задаче. Такой эффект известен как h-принцип, он получил известность в виде теоремы Смейла о выворачивании сферы, мы же обсудим и чуть более сложные его проявления. Другое центральное место курса — доказательство существования так называемых многочленов Тома. Оказывается, чтобы вычислить гомологические классы особенностей отображения, достаточно знать как оно действует на характеристических классах. То, как через них выражается класс особенности, и называется многочленом Тома, мы вычислим его в простейших случаях. Он универсален для заданного класса особенностей и, хотя и не даёт полного ответа о возможности устранения особенностей данного класса, иногда всё же оказывается достаточным. Наконец, третья цель курса — решение задачи о существовании отображения с заданными бордмановскими особенностями (т. е. “общего положения”) между многообразиями одинаковой малой размерности — 2, 3, либо 4. В общем же случае бордмановская классификация особенностей не является полной, о чём мы также поговорим. Попутно мы обсудим и применим множество классических инструментов дифференциальной топологии: пространства струй, топологию Уитни, трансверсальность, векторные расслоения и их характеристические классы (пожалуй, наглядность демонстрации применения всей этой техники — ещё одна цель курса). Также, если хватит времени, мы немного обсудим локальную теорию особенностей, гладкую и топологическую устойчивость. Курс рассчитан на студентов старше 2 курса. Помимо основ топологии, для понимания курса полезно быть знакомым с гладкими многообразиями и началом теории гомологий (хотя все необходимые сведения могут быть быстро напомнены).