И.М.Парамонова, О.К.Шейнман

Алгебры Ли и их приложения

1996/97 учебный год (2 семестра)

Записки семинара (Seminar notes)

Gzipped postscript (99K; may be viewed directly by some versions of Ghostview)
Zipped postscript (99K)

Внимание! Переработнную версию этих записок можно найти здесь.

Программа

Группы Ли. Примеры. Однопараметрические подгруппы и левоинвариантные векторные поля. Касательное пространство в единице. Абелевы группы Ли. Отображение exp.
Подгруппы и отображения групп Ли.
Определение алгебры Ли. Простейшие следствия определений. Классификация алгебр Ли малых размерностей.
Структура алгебры Ли на множестве векторных полей. Алгебра Ли группы Ли. Функтор Ли. Отображения Ad и ad.
Структура алгебры Ли в ассоциативной алгебре. Основные примеры: gl(n), sl(n), so(n), u(n), su(n), sp(2n), hei(2n+1), aff(n). Экспонента в матричных алгебрах Ли.
Теорема Адо. Восстановление группы Ли по алгебре Ли. Связь локальной изоморфности с глобальной.
Идеалы и подалгебры. Факторалгебры. Дифференцирования, внутренние дифференцирования. Представления, точные представления.
Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Теорема Ли. Теорема Энгеля.
Радикал алгебры Ли. Теорема Леви - Мальцева.
Разложение Фиттинга. Картановская подалгебра.
Форма Картана - Киллинга. Критерий Картана полупростоты алгебры Ли.
Разложение полупростой алгебры Ли в сумму простых. Дифференцирования полупростой алгебры Ли. Структура картановской подалгебры полупростой алгебры Ли.
Унитарный трюк Вейля. Описание конечномерный представлений алгебры Ли sl(2).
Система корней полупростой алгебры Ли. Система простых корней. Группа Вейля. Транзитивность действия группы Вейля на множестве систем простых корней.
Матрица Картана полупростой алгебры Ли. Схема Дынкина. Классификация полупростых алгебр Ли. Изоморфизмы в малых размерностях.
Формула Вейля для характера неприводимого конечномерного представления полупростой алгебры Ли.
Отображение момента. Гамильтонова редукция. Вполне интегрируемость системы Калоджеро - Мозера и непериодической цепочки Тода.
Тождества Макдональда с точки зрения конечных систем корней.