Коммутативная алгебра (весна 1998)

Д.А.Шмелькин, И.В.Аржанцев

Задачи к лекциям (Exercises)

Gzipped postscript (58K; may be viewed directly by some versions of Ghostview)
Zipped postscript (58 K)

Программа курса

1. Первое знакомство

Кольца, идеалы, факторкольца. Поля, кольца с однозначным разложением на множители.

2. Алгебраические расширения полей

Поле алгебраических чисел. Алгебраическое замыкание поля. Поле разложения многочлена. Конечные поля. Нормальные расширения. Сепарабельность. Теорема о примитивном элементе. Соответствие Галуа. Группы Галуа многочленов. Решение уравнений степени 3 и 4. Построение правильного $n$-угольника.

3. Трансцендентные расширения полей

Степень трансцендентности. Теорема Гильберта о нулях. Радикал, радикальные идеалы. Понятие о схемах.

4. Коммутативная алгебра и аффинная алгебраическая геометрия

Нетеровость. Теорема о базисе идеала.

Топология Зарисского. Целостность и неприводимость.

Морфизмы, теорема об образе доминантного морфизма.

Поле частных. Рациональные морфизмы. Теорема о факторизации морфизма.

Дифференцирования алгебр. Касательное пространство. Простые и особые точки.

Целые расширения. Лемма Нетер о нормализации. Системы параметров. Регулярные последовательности. Кольца Коэна-Маколея.

Конечные морфизмы. Целозамкнутые кольца. Нормализация аффинного многообразия.

Теорема о гиперповерхности. Теорема о размерности слоев морфизма.

Градуированные алгебры. Ряды Гильберта-Пуанкаре.

Алгебры инвариантов. Теорема Гильберта о инвариантах. Категорные факторы.

Локализация колец. Локальное кольцо точки. Нормальность гладких многообразий. Гладкость в коразмерности 1 нормальных многообразий. Рациональные функции на нормальном многообразии; критерий нормальности Серра (без доказательства).