На главную страницу НМУ

Комплексный анализ, 4 семестр (весна 1998)

Лектор - В.К.Белошапка, семинары - А.Г.Кулаков и С.Ю.Немировский

Материалы семинаров и задачи к экзамену (Exercises and exam problems)

[Gzipped postscript (71K; may be viewed directly by some versions of Ghostview)
Запакованный zip-ом postscript-файл (71 K)]

Программа курса

1. Гармонические функции 2-x переменных: связь с аналитическими, теоремы о среднем, теорема единственности, принцип максимума, классификация изолированных особенностей, решение задачи Дирихле.
2. Векторные поля на плоскости (гидродинамика): условия отсутствия источников и вихрей, комплексный потенциал, течение вблизи особых точек, эвристическое доказательство теоремы Римана (принцип Дирихле).
3. Большая теорема Пикара.
4. Принцип компактности и доказательство теоремы Римана.
5. Римановы поверхности алгебраических функций и кривые в C^2: схемы, группа монодромии и группа кос, формула для рода Римана-Гурвица.
6. Теория функций на римановых поверхностях: голоморфные, мероморфные, аналитические функции и формы, изолированные особые точки, нули, теорема единственности, принцип максимума, интегральная формула Коши, теорема о вычетах, принцип аргумента, дивизоры. Формулировка классической теоремы Римана-Роха.
7. Аналитическая геометрия в $C^n$.
8. Многие переменные - элементарная теория: голоморфные функции (кратный интеграл Коши, кратные ряды), неравенства Коши, теорема единственности, принцип максимума, принцип компактности, аналитическое продолжение.
9. Области голоморфности: продолжение с помощью кратной интегральной формулы Коши, фигура Хартогса, голоморфная выпуклость и продолжение вдоль семейства дисков.
10. Биголоморфные отображения: автоморфизмы шара и полидиска, их неэквивалентность.
11. Вещественные гиперповерхности: вещественная и комплексная касательные, форма Леви, навешивание дисков.
12. Полиномиальные аппроксимации: теорема Рунге в C^1, полиномиальная выпуклость в C^n.