Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений (весна 1998)

И.С.Красильщик

Задачи к экзамену (Exam problems)

[Postscript-файл (88 K)|Запакованный zip-ом postscript-файл (31 K)]

Требования к подготовке слушателей

Гладкие многообразия и дифференциальное исчисления на них: векторные поля, дифференциальные формы, распределения. Локально-тривиальные и векторные расслоения, связности. Основы теории категорий: категории, функторы, диаграммы. Коммутативная алгебра: кольца, алгебры, модули, спектры.

Программа курса

Джеты и классическая теория симметрий

Многообразия и расслоения джетов. Канонические координаты.
Линейные дифференциальные операторы. Поднятия.
Нелинейные операторы. Композиции и продолжения.
Уравнения. Решения. Конусы и типы.
Распределение Картана. Структура интегральных многообразий.
Симметрии и их производящие функции. Приложения.
Внешние и внутренние симметрии.

Бесконечные джеты и теория высших симметрий

Необходимые сведения из дифференциального исчисления в коммутативных алгебрах.
Бесконечные джеты. Бесконечные продолжения нелинейных операторов.
Распределение Картана на бесконечных джетах. Интегрируемость и структура интегральных многообразий.
Бесконечные продолжения нелинейных уравнений. Формальная интегрируемость.
Симметрии распределения Картана на бесконечных джетах. Эволюционные дифференцирования и линеаризации.
Высшие симметрии нелинейных уравнений. Структурная теорема.
Примеры вычислений.

Накрытия и нелокальные симметрии

Категория дифференциальных уравнений: объекты и морфизмы.
Накрытия в категории дифференциальных уравнений. Примеры.
Преобразования Беклунда. Операторы рекурсии.
Нелокальные симметрии и их тени. Примеры.
Универсальное абелево накрытие и теорема о восстановлении.