IX Заочный конкурс учителей математики.

Информация и правила участия                  Задания конкурса в форматах PDF, 140k и MsWord, 30k

I. Решите задачи.

N1. Три землекопа, работая одновременно, выкопали за час 7/10 траншеи. Известно, что землекопы работают с разной скоростью, причём каждый из них может выкопать такую траншею меньше чем за сутки, но за целое число часов. За какое время выкопает траншею каждый из них?

N2. У завхоза было трое одинаковых чашечных весов. В одних потерялась часть деталей и теперь они могут показывать что угодно. Любые весы помещаются на одну чашку других весов. За какое наименьшее количество взвешиваний можно определить неисправные весы?

N3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' точка Е – середина ребра BB'. Найдите объем тетраэдра ЕАD'C, если AB = 2; AD = 1; AA' = .

N4. У Мудрого Учителя Фу есть любимый Ученик Ли. Каждый день Фу вкладывает знания в Ли. Однажды Фу обнаружил, что Ли усваивает на занятии не весь вложенный объем знаний, а только логарифм этого объема (например, если Фу вкладывает в Ли единицу знаний, то Ли не усваивает ничего). Основание логарифма – величина, обратная длине палки (в метрах), с помощью которой Фу вкладывает знания в Ли. Однажды Император издал указ о гуманизации образования, в котором повелел укоротить все палки. До какой наименьшей длины Фу может укоротить палку, чтобы ею можно было вложить в Ли столько знаний, что Ли их усвоит без остатка?

N5. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = АС) провели биссектрису BD. Оказалось, что ВС = BD + AD. Найдите угол BАC.

II. Методический блок.

В предложенных текстах (№6 – №8) могут содержаться математические ошибки (как в "ответах", так и в "решениях"). Укажите все ошибки и, если "решение" неверное, то приведите верное решение.

N6. "Задача". Существует ли конечная геометрическая прогрессия с натуральными членами, сумма всех членов которой равна 211?

"Ответ": нет, не существует.

"Решение". Пусть x – первый член, а q – знаменатель прогрессии, тогда x(1 + q + q² + ... + qⁿ) = 211. Так как 211 – простое число, то x = 1. Значит, q(1 + q + ... + qⁿ – 1) = 210 = 2×3×5×7. Следовательно, в разложении числа q на простые множители могут присутствовать только числа 2, 3, 5 и 7 (либо в первой, либо в нулевой степени.

Пусть q = 2, тогда 1 + 2 + ... + 2^{n – 1} = 105 ⇔ 2ⁿ – 1 = 105 ⇔ 2ⁿ = 106, что невозможно.

Пусть q = 3, тогда 1 + 3 + ... + 3^{n – 1} = 70. Так как 3⁴ = 81 > 70, то достаточно проверить n = 2; 3; 4. Во всех случаях равенство неверно.

Пусть q = 5, тогда 1 + 5 + ... + 5^{n – 1} = 42. Так как 5³ = 125 > 42, то достаточно проверить n = 2 и n = 3. В обоих случаях равенство неверно.

Пусть q ≥ 6, тогда 1 + q + ... + q^{n – 1} ≤ 35, но q² ≥ 36, поэтому ни при каких натуральных n, больших двух, неравенство 1 + q + ... + q^{n – 1} ≤ 35 выполняться не может.

N7. "Задача". Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). На стороне AB выбирается точка K, а на стороне BC – точка L так, что AK + CL = 1/2AB. Найдите геометрическое место середин отрезков KL.

"Решение". Отметим на AB точку M, а на BC – точку N так, чтобы AM = CN = 1/4AB. Докажем, что отрезок MN – искомое ГМТ.

Ясно, что L и K лежат по разные стороны от прямой MN и KM = LN. Без ограничения общности считаем, что K лежит на отрезке BM. Проведем через K прямую параллельно BN до пересечения с MN в некоторой точке D. Стороны треугольников MKD и ABC параллельны, поэтому MKD – равнобедренный, MK = KD. Отрезки KD и NL равны и параллельны, значит, KNLD – параллелограмм, и середина KL лежит на DN.

Обратно, пусть E – точка на MN, и, скажем, EN < EM. Отложим на EM отрезок ED = EN и проведем через D прямую параллельно BN до пересечения с BM в точке K. Тогда, отложив на луче NC отрезок NL = DK, получим нужный нам отрезок KL с серединой E.

N8. "Задача". Вася и Петя закрашивают по очереди клетки на доске размером 4×4 так, чтобы не образовывался квадрат 2×2 из закрашенных клеток. Тот, кто не сможет сделать очередной ход, проигрывает. Начинает Петя. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник?

"Ответ": Вася.

"Решение". Как бы не играли Вася и Петя, они обязательно сделают в сумме 12 ходов. Тринадцатый ход должен будет сделать Петя, поэтому он проиграет.

III. Аналитический блок.

N9. На уроке была предложена задача: "У Вани есть 6 учебников по разным предметам, один из которых учебник алгебры. Он наугад кладет в портфель два учебника. Какова вероятность того, что один из них окажется учебником алгебры?

Школьник предложил такое решение: "Если Ваня положит в портфель только один учебник, то вероятность того, что это будет учебник алгебры, равна 1/6. А так как он кладет два учебника, то вероятность удваивается, следовательно, она равна 1/3".

Разгорелся спор. Одни считали предложенное решение, в целом, верным, хотя и недостаточно обоснованным. Другие утверждали, что решение ошибочно, хотя и приводит к верному ответу.

1) Приведите разумные аргументы за обе стороны спорящих. На чьей Вы стороне и почему?

2) Приведите еще 1–2 примера задач по комбинаторике или теории вероятностей, в которых верный ответ получается путем неверных или неполных рассуждений. Объясните, из каких соображений можно либо опровергнуть каждое из приведенных Вами "решений", либо довести его до верного.