Г.Л.Рыбников

Алгебра, 1 семестр (осень 1995)

Определения коммутативного кольца и поля. Кольцо многочленов. Поле комплексных чисел.
Кольцо формальных степенных рядов. Общая формула бинома Ньютона.
Кольца классов вычетов. Конечные поля.
Гомоморфизмы колец. Идеалы. Теорема существования факторкольца и его единственности с точностью до изоморфизма.
Теория делимости в кольцах. Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида. Факториальность колец Z и k[x].

Отображения множеств, разбиения, фактор-множества. Композиция отображений, ассоциативность композиции. Преобразования множеств, симметрическая группа.
Группы преобразований. Орбита, стабилизатор, неподвижные точки. Теорема Бернсайда.
Группы, абелевы группы. Подгруппы, смежные классы. Теорема Лагранжа.
Изоморфизмы и гомоморфизмы групп. Теорема Кэли.
Нормальные подгруппы, факторгруппы. Свободные группы, задание групп образующими и соотношениями.
Циклические группы. Прямые суммы абелевых групп. Теорема о строении конечно-порожденных абелевых групп.

Арифметические линейные пространства. Матрицы. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
Отображения арифметических линейных пространств, задаваемые матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица. Полная линейная группа.
Линейные пространства. Базис. Размерность.
Некоммутативные кольца. Тела. Алгебры. Алгебра матриц. Тело кватернионов.
Алгебра Грассмана. Определители. Специальная линейная группа.

Элементарные симметрические многочлены. Формулы Виета.
Основная теорема о симметрических многочленах.
Замены переменных в кольце многочленов. Теорема Лагранжа о приведении квадратичной формы к сумме квадратов. Полные симметрические многочлены как образующие кольца симметрических многочленов. Степенные суммы.
Дискриминант и результант.