На главную страницу НМУ

М.А.Цфасман, А.М.Левин, С.М.Львовский (M.Tsfasman, A.Levin, S.Lvovski)

Теория чисел и алгебраическая геометрия (вводный курс) (Number theory and algebraic geometry: an introduction)

Notes of some lectures

The notes that follow are not comprehensive: it's just three lectures by A.M.Levin. The lectures are dedicated to Hecke's proof of functional equation for Dedekind's zeta function.

Gzipped postscript (may be viewed directly with some versions of ghostview)

[Lecture 1 (38K)]

Zipped postscript

[Lecture 1 (38K)]

Exam problems

[Postscript (23K)|Zipped postscript (10K)]

Содержание курса

1. Конечные поля. Их структура. Их группа Галуа. Теорема Шевалле.
2. Локальные поля. p-адические числа. Лемма Гензеля. Степенные ряды.
3. Поля алгебраических чисел. Гауссовы числа. Квадратичные поля. Примеры неоднозначности разложения. Теория Галуа (разложение, инерция, ветвление). Дифферента и дискриминант. Квадратичный закон взаимности. Нормирования.
4. Функциональные поля и кривые. Аналоги Z, Q, R, C. Схемы (обзор). Гладкость и нормальность в одномерном случае. Кривые и их якобианы (обзор).
5. Элементарная теория чисел. Функции Мебиуса и Эйлера. Постоянная Эйлера. Неравенства Чебышева. Гамма-функция. Значения дзета-функции в четных числах и числа Бернулли. Геомтерические аналоги.
6. Дзета-функция. Дзета-функция Римана и распределение простых чисел. L-ряды и дзета-функция Дедекинда. Простые числа в арифметических прогрессиях. Дзета-функция Хассе-Вейля. Гипотеза Римана и экс-гипотеза Вейля (обзор).
7. Эллиптические кривые и модули Дринфельда. Алгебраическая и аналитическая теория: определение и основные свойства.

Это --- вводный курс, рассчитанный на студентов 2-3 курсов. Указанные выше темы будут рассказываться вперемешку.

Первое занятие - 11 сентября.