В.В.Долотин, А.Б.Скопенков, А. Б. Сосинский

Основная проблема топологии многообразий

Спецкурс студентов 2 (и выше) курса НМУ и мехмата МГУ

Аннотация

Цель спецкурса - продемонстрировать мощь методов алгебраической топологии путем их применения к основной проблеме геометрической топологии (проблеме классификации многообразий). Будут строиться и изучаться алгебраические препятствия, возникающие при решении этой и близких топологических задач. Материал будет преподноситься в основном на примерах размерностей 2, 3 и 4, хотя соответствующие методы работают и в многомерном случае. Будут предложены задачи для исследования.

Для понимания спецкурса достаточно начальных знаний по топологии (например, в пределах полугодового вводного курса в НМУ плюс основы теории (ко)гомологий и топологии многообразий). Детали доказательств, требующие более продвинутого материала, будут предлагаться в качестве задач более продвинутым слушателям. Материал настоящего спецкурса не будет использовать и практически не будет повторять материал спецкурсов "Алгебраическая топология с геометрической точки зрения" (весна 2000) и "Классические и современные проблемы геометрической топологии" (весна 2001).

Программа на сентябрь-октябрь (не все теоремы планируется доказать, но все примеры планируется явно построить)

Классификация одномерных и двумерных многообразий. Гипотеза Пуанкаре. Хирургия Дена. Сфера Пуанкаре.
Проблема характеризации фундаментальных групп 3-многообразий. Линзовые пространства. Пересечение в гомологиях многообразий. Негомеоморфные линзовые пространства с изоморфными фундаментальными группами.
Псевдошары и гипотеза Пуанкаре. Сдавливание, регулярные окрестности, дом Бинга. Шутовской колпак и четырехмерный псевдошар Мазура. Гипотеза Зимана.
Сигнатура. Теорема Рохлина и многообразие Рохлина. Числа Бернулли и обобщение Милнора-Кервера теоремы Рохлина. Пример Милнора нетривиальной гомотопической сферы.
Обзор теории классификации многообразий. Препятствия к наличию структуры PL-многообразия в терминах топологии классифицирующих пространств. Строение группы PL(DIFF)-изотопий и классификация PL(DIFF)-структур.
Общее положение и применение к вложениям. Теорема Борсука-Улама. Пример Ван Кампена двумерного полиэдра, невложимого в $R^4$, с доказательством Щепина. Пример стягиваемого двумерного полиэдра, невложимого в $R^3$.
Конфигурационное пространство пар различных точек (взрезанный квадрат). Препятствие и инвариант взрезанного квадрата. Кольца Борромео и неполнота инварианта взрезанного квадрата. Зацепление Уайтхеда, трехмерная визуализация четырехмерных 'пальцевых движений' Кэссона и неполнота инвариантов высших взрезанных степеней.
Гомотопческая классификация непрерывных отображений графа в $S^1$ и двумерного полиэдра в $S^2$ (теорема Хопфа--Уитни). %Когомологии и их вычисление.
Препятствия Ван Кампена к планарности графов и к aппроксимации путей на плоскости несамопересекающимися путями. Препятствие Ван Кампена к вложимости двумерных полиэдров в $R^4$. Теорема вложения Ван-Кампена--Шапиро--Ву. Препятствие взрезанного квадрата и его связь с препятствием Ван Кампена. Теорема вложения Хэфлигера--Вебера и ее усиление для кусочно-линейных многообразий.
Пример Фридмана--Крушкаля--Тайхнера неполноты препятствий Ван Кампена. Его модификация при помощи 'пальцевых движений' Кэссона для взрезанного квадрата и высших взрезанных степеней.
Многомерные кольца Борромео, зацепление Уайтхеда, сфера Хэфлигера, тор Хэфлигера и тор Уайтхеда. Примеры кусочно-линейных, но несглаживаемых вложений и изотопий, а также неполноты препятствия взрезанного квадрата.
Лемма о поглощении. Доказательство Зимана многомерной гипотезы Пуанкаре. Теоремы вложения и изотопии Пенроуза--Уайтхеда--Зимана--Ирвина.