Цель спецкурса --- продемонстрировать мощь методов алгебраической топологии путем их применения к фундаментальным проблемам геометрической топологии, т.е. построения и изучения алгебраических препятствий к различным красивым топологическим задачам. Материал будет преподноситься в основном на примерах размерностей 2, 3 и 4, хотя соответствующие методы работают и в многомерном случае. Будут предложены задачи для исследования.
Для понимания спецкурса достаточно начальных знаний по топологии (например, в пределах полугодового вводного курса в НМУ). Даже основы теории (ко)гомологий будут использоваться только по мере их появления в курсе топологии В. А. Васильева в НМУ весной 2001 года (т. о., данный спецкурс можно рассматривать как дополнение к курсу В. А. Васильева). Детали доказательств, требующие более продвинутого материала, будут предлагаться в качестве задач более продвинутым слушателям. Материал настоящего спецкурса не будет использовать и практически не будет повторять материал спецкурса "Алгебраическая топология с геометрической точки зрения" (НМУ, весна 2000).
0. Три классические проблемы геометрической топологии: гомеоморфизма, вложения и изотопии.
1. Критерии планарности графов, двумерных полиэдров и пеановских континуумов. Простое доказательство Макарычева критерия Куратовского. Классификация вложений графа в плоскость.
2. Ложные поверхности и специальные двумерные полиэдры. Их вложимость в $R^3$ и трехмерные многообразия. Кодирование трехмерных многообразий специальными полиэдрами (теоремы Кэслера и Матвеева--Пьергалини).
3. Фазовое пространство пар различных точек и препятствие Ву к вложимости в $R^m$. Инвариант Ву вложений и инвариант Масси--Рольфсена сингулярных зацеплений.
4. Гомотопическая классификация отображений $S^2\to S^2$ (теорема Брауэра--Хопфа) и двумерного полиэдра в $S^2$ (теорема Хопфа--Уитни). Коэффициэнт зацепления. Трехмерная визуализация четырехмерных 'пальцевых движений' Кэссона.
5. Препятствия Ван Кампена к планарности графов и к aппроксимации путей на плоскости несамопересекающимися путями. Двумерные полиэдры, невложимые в $R^4$. Препятствие Ван Кампена к вложимости двумерных полиэдров в $R^4$. Пример Фридмана--Крушкаля--Тайхнера его неполноты.
6. Инвариант Хопфа. Конструкция Понтрягина. Гомотопическая классификация отображений $S^3\to S^2$. Классификация оснащенных зацеплений в трехмерном многообразии с точностью до кобордизма. Кодирование трехмерных многообразий оснащенными зацеплениями при помощи хирургии Дена (теорема Керби).
7. Гомотопическая классификация отображений $S^4\to S^3$. Форма пересечений четырехмерного многообразия. Классификация оснащенных зацеплений с точностью до кобордизма в четырехмерном многообразии. Хирургия и кобордизм четырехмерных многообразий. Сигнатура и ее инвариантность при кобордизме. Формулировки теорем Рохлина, Фридмана и Дональдсона о классификации четырехмерных многообразий.
8.* Лемма о поглощении. Доказательство Зимана многомерной гипотезы Пуанкаре. Теоремы вложения Пенроуза--Уайтхеда--Зимана--Ирвина, Ван-Кампена--Шапиро--Ву и Хэфлигера--Вебера. Пример Милнора нестандартной семимерной сферы. Многомерные кольца Борромео и пример Хэфлигера нестандартного узла $S^3\to S^6$.
