А.Л.Городенцев (A.Gorodentsev)

Алгебраическая геометрия (Algebraic geometry)

Postscript

Zipped postscript

Курс рассчитан на студентов-математиков 2--4 курса, владеющих материалом семестрового курса того же преподавателя "Геометрическое введение в алгебраическую геометрию".

Приводимая ниже программа является очень приблизительной "программой-максимум"; в частности, количество времени, которое будет реально отведено на обсуждение п.п.1--4 (непосредственно коррелирующее с временем, что останется на п.п.8--10) будет зависеть от того, насколько быстро слушатели начнут ориентироваться в ключевых моментах предыдущего семестра.

Алгебраические многообразия (напоминания).
- Аффинные многообразия = максимальные спектры редуцированных алгебр над алгебраически замкнутым полем.
- Топология Зарисского, нехаусдорфовость, неприводимость.
- Структурный пучок = локально определённые рациональные функции.
- Главные открытые множества.
- Морфизмы аффинных многообразий = гомоморфизмы алгебр.
- Замкнутые вложения, доминантные морфизмы, конечные морфизмы.
- Прямое произведение аффинных многообразий = тензорное произведение алгебр.
- Карты, атласы, многообразия, структурный пучок, (рациональные) морфизмы.
- Отделимость; замкнутые вложения; аффинность и проективность.
- Замкнутые и собственные морфизмы; отсутствие непостоянных морфизмов из проективных многообразий в аффинные.
- Размерность, оценки размерностей пересечений и слоёв морфизмов.
Векторные расслоения и пучки (напоминания).
- Локально тривиальные векторные расслоения = первые когомологии Чеха пучка обратимых матричнозначных функций
- Группа Пикара; дивизоры Картье; вычисление для факториальных аффинных многообразий и грассманианов.
- Расщепление векторных расслоений на P₁.
- Пучок сечений векторного расслоения, пучки модулей; (квази)когерентность.
- Векторные расслоения на аффинном многообразии = локально свободные пучки = проективные модули.
- Пучки (как общематематическое понятие) и операции над ними.
Регулярность и гладкость.
- (Ко)касательное пространство и касательный конус, дифференциалы, гладкость.
- Касательное расслоение грассманиана.
- Локальная неприводимость и факториальность гладкой точки.
- Этальные морфизмы.
- Комплексы Кошуля, регулярность и коэн-маколеевость.
- Дифференциальные формы, комплекс Де Рама.
- Канонический класс.
Внешняя геометрия проективных многообразий.
- Линейные системы дивизоров и проективные морфизмы
- Проективные вложения, гиперплоские сечения и обильные дивизоры.
- Теорема о связности.
- Степень и теорема Безу.
- Арифметический род.
Схемы.
- Схемы = "многообразия" с нередуцированным структурным пучком.
- Подмногообразия, подсхемы и пучки идеалов.
- Схемы нулей сечений векторных расслоений.
- Расслоенные произведения.
- Схемный прообраз и схемное пересечение.
- Аффинные и проективные расслоения.
- Конормальный пучок и нормальный конус.
- Раздутие схемы вдоль подсхемы.
Алгебраические циклы.
- Рациональная эквивалентность.
- Прямые и обратные образы.
- Ограничение дивизоров на циклы.
- Детерминант векторного расслоения и классы Сегре.
Введение в теорию пересечений.
- Деформация к нормальному конусу.
- Гомоморфизм Гизина.
- Функториальные свойства пересечений.
- Кольцо Чжоу грассманиана и исчисление Шуберта (насколько время позволит).
Введение в теорию Чжоу.
- Многообразия Чжоу.
- Схемы Гильберта.
- Представление проективных циклов дивизорами на грассманианах с приложениями к исчислительной геометрии (на сколько позволит время).
Введение в харклассы.
- Принцип расщепления.
- Классы Чженя, Сегре и Адамса.
- Локализованные классы Чженя и исчислительная геометрия детерминанталей (насколько позволит время).
Введение в теорию когомологий (на сколько хватит времени).
- Когомологии Чеха.
- Комплекс Чеха как предел комплексов Кошуля, когомологии обратимых пучков на проективных пространствах.
- Двойственность Серра.
- Что такое теорема Римана -- Роха.

А.Л.Городенцев (A.Gorodentsev)

Алгебраическая геометрия (Algebraic geometry)

Postscript

Zipped postscript

Рекомендуемые учебники: