Я.В.Абрамов

Алгебраические группы и группы Ли

Экзамен

Лекции (Lecture notes. pdf)

Программа

Курс будет сосредоточен на примерах и контрпримерах, классификации алгебраических групп и их структурных свойств.

Предварительные требования: знать, что такое гладкое многообразие, что такое алгебраическое многообразие, что такое касательное пространство, что такое группа.

Некоторые разделы ввиду их огромности будут отнесены к упражнениям. Звездочкой обозначены разделы, которые будут пройдены, только если хватит времени и по желанию слушателей.

В течение курса будут выданы упражнения, решение которых влияет на экзамен.

0. Определение группы Ли, алгебраической группы, касательной алгебры, алгебры Ли. Много-много примеров.
Соответствие групп и алгебр Ли. Векторы Витта как контрпример к соответствию касательных алгебр и групп. Алгебраичность подгрупп.

1. Факторгруппа по подгруппе Ли. Односвязные группы Ли. Виртуальные подгруппы Ли.

2. Существование конечномерного представления у аффинной алгебраической группы.

3. Полупростые и унипотентные элементы, жорданова нормальная форма.

4*. Проективные алгебраические группы. Эллиптические кривые.

5. Редуктивные алгебраические группы. Разложение Леви.

6. Системы корней, решетки весов, группа Вейля.

7. Критерий Гильберта-Мамфорда-Винберга-Попова замкнутости орбиты в представлении.

8*. Когомологии групп и алгебр Ли, топология групп Ли.

9*. Обобщенные многообразия флагов.

10*. Группы и алгебры Шевалле.

11*. Компактные группы Ли, их классификация.

12*. Критерий Игусы (один из двух известных в алгебраической геометрии критериев неприводимости многообразия).

Литература:

Хороший вводный учебник с не самыми общими теоремами, но годящийся для введения в науку:
Винберг, Онищик, "Семинар по алгебраическим группам и группам Ли"

Где подробно написана вся вводная теория групп Ли, в том числе для групп над полными нормированными полями, есть некоторые бесконечномерные аналоги, есть много задач, разобраны статьи по этой теме:
Бурбаки, "Группы и алгебры Ли" (в 4 томах)
Серр, "Группы и алгебры Ли"

Связь с физикой:
Ван дер Варден, "Методы теории групп в квантовой механике"

Алгебраические группы в целом:
Хамфри "Алгебраические группы"

Что можно вынести непосредственно из алгебры Ли про группу:
Хамфрис, "Введение в теорию алгебр Ли и их представлений"

Топология групп Ли:
Винберг, Онищик, "Семинар по алгебраическим группам и группам Ли" (раздел про фундаментальную группу)
Прасолов, "Элементы теории гомологий" (раздел про когомологии групп Ли)
Фейгин, Фукс, "Гомологии групп Ли" (продвинутая книжка, доступна возможно не всем)