На главную страницу НМУ

Д.В.Беломестный, А.В. Гасников, Г.К. Голубев, Ю.Е. Нестеров, В.Г. Спокойный

Стохастический анализ в задачах

Совместный НМУ-МФТИ-ВШЭ спецкурс и спецсеминар для студентов 2-5 курсов и аспирантов.
Курс засчитывается в качестве годового курса по выбору на физтехе и рекомендуется студентам мат. фак. ВШЭ

К видео-записям курса

Семинары проводят: Е.О. Черноусова, А.Л. Суворикова

Курс является продолжением курса, прочитанного в прошлом семестре. Однако изложение будет вестись таким образом, чтобы за происходящим можно было следить, не посетив занятия прошлого семестра.

В осеннем семестре планируется особое внимание уделить:

Явлению концентрации меры. Неравенству Талаграна и вариациям на эту тему; Геометрическим вероятностям; Изопериметрическому неравенству Чигера и его обобщениям; Вероятностным алгоритмам и вероятностному анализу алгоритмов, в частности современным методам в стохастической оптимизации; Методам Монте-Карло (HitandRun, MCMC); Свойствам марковских процессов (СМО) при термодинамическом предельном переходе; Приложениям вероятностных методов в асимптотической комбинаторике; Обратным задачам теории вероятностей.

Расписание некоторых занятий:

15 января 2013, 11:00-15:00, ауд.401

Обучение распознаванию образов по методу опорных векторов: Исходная идея, вероятностная интерпретация, алгоритмы.

Презентация

Обучение распознаванию образов является простейшей задачей восстановления зависимости по эмпирическим данным, когда требуется научить компьютер оценивать класс (тип) объектов, «случайно» появляющихся из некоторого реально существующего множества, по значениям некоторой их характеристики, доступной для наблюдения. Предполагается, что наблюдатель располагает ограниченной обучающей совокупностью, т.е. конечным подмножеством объектов, для каждого их которых известны как значение наблюдаемой характеристики, так и принадлежность к одному из классов, скрытая в обычном режиме наблюдения. В данной лекции мы ограничимся предположением, что различению подлежат два класса объектов, и рассмотрим метод опорных векторов (SupportVectorMachine--− SVM), получивший огромную популярность в силу поразительного сочетания вычислительной простоты, удобства практического применения, и надежности в условиях небольшого размера обучающей совокупности. Сначала мы предположим, что всякий объект воспринимается компьютером в виде конечной совокупности числовых признаков, а затем обобщим способ обучения на типичную для практики ситуацию, когда объекты могут быть восприняты только путем их попарного сравнения.

Статистические методы в цифровой связи

ВИДЕО

Статистические методы являются одной из основ современной цифровой связи. В качестве примера использования байесовского статистического подхода в задачах передачи данных будет рассмотрена задача определения координат на поверхности Земли передатчика, нелегально использующего спутниковый канал связи. Для его локализации используются два гео-стационарных спутника и вычисление координат осуществляется на основе измерения задержек и доплеровских сдвигов сигналов, полученных со спутников. Цель лекции - рассказать почему задача оценивания этих параметров является очень непростой, как с технической, так и со статистической точек зрения и описать подход к ее решению, основанный на методах семи параметрического оценивания.

ЛИТЕРАТУРА:

• Kaufman, J. E. and Hutchinson, W. K.Emitter Location with LES 8-9 Using Differential Time-of-Arrival and Differential Doppler Shift.Technical Report 698 (2000).

Н-ТЕОРЕМА ДЛЯ ОБОБЩЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ И УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ

К ВИДЕО:
Лекция ч.1, Лекция ч.2, Лекция ч.3

Презентация

Для уравнений химической кинетики рассматриваются условия выполнения Н-теоремы Больцмана [1,2]. Эта классическая теорема не только обосновывает 2-й закон термодинамики для описываемых систем, но и дает информацию о поведении решений. Доказательство Н-теоремы делает поведение решений уравнений понятным, так как позволяет узнать, куда они сходится при времени, стремящемся к бесконечности. Это можно сделать без решения уравнений, найдя экстремаль Больцмана - аргумент минимума Н-функции (убывающего на решениях функционала) при условии, что значения линейных законов сохранения фиксированы. Н-теорема обеспечивает устойчивость полученных решений. Рассматриваются условия детального баланса и динамического равновесия. Последнее также называют условием Штюккельберга-Батищевой-Пирогова. В этих случаях Н-теорема доказана [3,4].

Мы доказываем Н-теорему для обобщений уравнений химической кинетики, которые включают в себя такие важные физические примеры, как дискретные модели квантовых кинетических уравнений (уравнений Улинга-Уленбека) и квантовый марковский процесс (квантовое случайное блуждание).

В работах А. Пуанкаре [5], В.В. Козлова и Д.В. Трещева [6] рассматривается новая форма [LINK]-теоремы. Она справедлива для уравнения Лиувилля и его обобщений. Понятие экстремали Больцмана там тоже работает: мы доказываем, что временные средние (средние по Чезаро) совпадают с экстремалями по Больцману [7]. И это делает понятие экстремали Больцмана общематематическим и фундаментальным и как метод поиска стационаров широкого класса уравнений как линейных типа уравнения Лиувилля, так и нелинейных, и как широкое обобщение понятия энтропии.

Мы рассмотрели вариационный принцип Больцмана для уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели М. Каца [8,9] и получили точные формулы для размерности пространства линейных инвариантов в этой модели. Это хороший и важный инвариант для любой динамической системы: размерность пространства линейных законов сохранения для соответствующего уравнения Лиувилля.

Список литературы:

1. Boltzmann L. Weitere Studien uber das Warmegleichgewicht unter Gasmolekulen. Wien: Akad. Sitzungsder, 1872. Bd.66. S. 275-370. Перевод: Больцман Л. Избранные труды. М., 1984. Дальнейшие исследования теплового равновесия между молекулами газа. С. 125-189.
2. Boltzmann L. Uber die Bezeihung zwischen dem zwiten Hauptsarze der Mechanischen Warmetheory und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, respective den Satzen uber das Warmegleichgewicht. - Wien . Akad. Sitzungsber. ,1878, Bd. 76, S. 373-435. Перевод : Л. Больцман. О связи между вторым началом механической теории теплоты и теорией вероятностей в теоремах о тепловом равновесии. Избранные труды. М.:1984.стр. 190-235.
3. Батищева Я.Г., Веденяпин В.В. II-й закон термодинамики для химической кинетики // Матем. моделирование. 2005. 17:8. с. 106-110.
4. Малышев В.А., Пирогов С.А. Обратимость и необратимость в стохастической химической кинетике // УМН. 2008. Т. 63. № 1. с. 3-36.
5. Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов. // Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 3. М., 1974.
6. Козлов В.В., Трещев Д.В. Слабая сходимость решений уравнения Лиувилля для нелинейных гамильтоновых систем // ТМФ, 134:3 (2003), 388-400.
7. Веденяпин В.В. Временные средние и экстремали Больцмана. Доклады РАН, 2008, т. 422, 2, стр.161-163.
8. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука, 1967.
9. Аджиев С.З., Веденяпин В.В. Временные средние и экстремали Больцмана для марковских цепей, дискретного уравнения Лиувилля и круговой модели Марка Каца // ЖВМ и МФ. 2011. Т. 51. № 11. с. 2063-2074.

Современные методы Монте-Карло и оптимизации для решения задач оптимальной остановки в финансовой математике

К ВИДЕО

Слайды

Задачи по курсу
Решения просьба присылать до 25 ноября на почтовый ящик denis.belomestny AT uni-due.de

Такие задачи финансовой математики как вычисление цен Американских опционов сводятся к решения многомерных задач оптимальной остановки, которые из-за большой размерности могут быть решены только с использованием методов Монте-Карло. В курсе будут изложены современные подходы для численного решения многомерных задач оптимальной остановки основанные на методе Монте-Карло и использующие оптимизацию. Будут представлены различные алгоритмы, а также теоретические результаты касающиеся их сходимости. Затем мы обсудим применение этих алгоритмов к конкретным задачам финансовой математики и завершим курс кратким обзором литературы.

Список лекций:

1. Многомерные задачи оптимальной остановки в финансовой математике.Методы Монте-Карло: основные понятия.

2. Регрессионные Монте-Карло алгоритмы построения нижних оценок для оптимальных решений и их сходимость.

3. Оптимизационные Монте-Карло алгоритмы построения нижних оценок для оптимальных решений и их сходимость.

4. Построение верхних границ для оптимальных решений с помощью двойственного представления. Алгоритмы двойственной оптимизации.

1. Belomestny, D. (2012).Solvingoptimalstoppingproblemsbyempiricaldualoptimizationandpenalization, toappearinAnnalsofAppliedProbability, available at www.uni-due.de/~hm0124.

2. Belomestny, D. (2011). Pricing Bermudan options using regression: optimal rates of convergence for lower estimates. Finance and Stochastics, 15(4), 655-683.

3. Belomestny, D. (2011). On the rates of convergence of simulation-based optimization algorithms for optimal stopping problems. Ann. Appl.Probab., 21(1), 215-239.

4. Belomestny, D., Bender, Ch. and Schoenmakers, J. (2009). True upper bounds for Bermudan product svianon-nested MonteCarlo. Mathematical Finance, 19(1), 53-71.