На главную страницу НМУ

Михаил Борисович Скопенков

Геометрия

К ВИДЕО

Листки (Exercise sheets).pdf

[Листок 1 .pdf|Листок 2 .pdf|Листок 3 .pdf|Листок 4 .pdf]
[Листок 5 .pdf|Листок 6 .pdf|Листок 7 .pdf|Листок 8 .pdf]
[Листок 9 .pdf|Листок 10 .pdf]

Программа курса:

  1. Проективная геометрия. Центральная проекция на плоскости и в пространстве. Решение геометрических задач с помощью центральной проекции. Теоремы Паппа, Паскаля, Брианшона и Дезарга. Двойное отношение. Гармонические четверки. Дробно-линейные преобразования вещественной прямой. Проективная прямая, проективная плоскость, проективные преобразования. Конические сечения. Элементарное определение эллипса, гиперболы, параболы. Полярное соответствие. Двойственность. Однородные координаты. Проективные пространства*. Геометрия масс*. Применения в колориметрии.* Ткани из прямых на плоскости*.

  2. Геометрия Мебиуса. Инверсия. Решение геометрических задач с помощью инверсии. Поризм Штейнера. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, простого и двойного отношения. Дробно-линейные преобразования комплексной плоскости. Круговая плоскость, круговые преобразования. Стереографическая проекция, сфера Римана. Проективная модель геометрии Мебиуса. Пучки и связки окружностей*. Ткани из окружностей на плоскости*. Циклики*. Циклиды Дюпена и окружности на них.* Кватернионы и круговые преобразования пространства*.

  3. Сферическая геометрия. Сферические прямые, углы и треугольники. Сумма углов треугольника. Скалярное и векторное произведения. Сферическая тригонометрия. Двойственность. Вращения пространства. Описание вращений с помощью кватернионов.* Эллиптическая геометрия*.

  4. Геометрия Лобачевского. Сравнение аксиом геометрий Евклида и Лобачевского. Элементарные теоремы геометрии Лобачевского. Сумма углов треугольника. Идеальные треугольники. Гиперболическая тригонометрия. Окружности, орициклы и эквидистанты. Длина окружности. Модель Кэли-Клейна. Модель Пуанкаре. Изоморфизм моделей (отображение Дарбу). Дробно-линейные преобразования полуплоскости. Поверхность Бельтрами*. Замощения плоскости Лобачевского.*

  5. Другие геометрии. Геометрия и кинематика Галилея. Парабола как окружность в геометрии Галилея. Геометрия Минковского и кинематика теории относительсти. Пространство скоростей в теории относительсти и геометрия Лобачевского. Абсолютная геометрия и связки окружностей на плоскости. Группы преобразований. Геометрия в смысле Клейна - множество с действием группы преобразований.

Литература.

  1. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. ОНТИ НКТП СССР, 1936.
  2. Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей. - Т. 2: Геометрия. - М.: Наука, 1987.
  3. В.В. Прасолов. Геометрия Лобачевского. - 2-е изд., испр. и доп. -М.: МЦНМО, 2000. - 80 с.
  4. *И.М. Яглом. Геометрические преобразования. (Серия "Библиотека математического кружка", вып. 8) Т. 2. - М.: ГИТТЛ, 1956. - 612 с.
  5. *А.И. Фетисов. Очерки по евклидовой и неевклидовой геометрии. М.: Просвещение, 1965. - 234 с.
  6. *М.Б. Балк, В.Г. Болтянский. Геометрия масс. (Серия "Библиотечка "Квант"", вып. 61) М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 160 с.
  7. *А.В. Хачатурян. Геометрия Галилея. (Серия "Библиотека "Математическое Просвещение"".) М.: МЦНМО, 2005. - 32 с.
  8. *В.И. Арнольд. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. - М.: МЦНМО, 2002. - 40 с.
Rambler's Top100