На главную страницу НМУ

Евгений Юрьевич Смирнов, Григорий Мерзон

Симметрические функции

Материалы лекций (Lecture notes).pdf

[Лекция 2 .pdf|Лекция 3 .pdf|Лекция 6 .pdf|Лекция 7 .pdf|Лекция 9 .pdf|Лекция 10 .pdf]

Домашнее задание .pdf

[Листок 1 .pdf|Листок 2 .pdf|Листок 3 .pdf|Листок 4 .pdf]
[Листок 5 .pdf|Листок 6 .pdf|Листок 7 .pdf|Листок 8 .pdf]

Программа курса:

1. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены, полные симметрические многочлены, двойственность. Многочлены Шура. Симметрические функции.

2. Комбинаторное описание многочленов Шура. Диаграммы Юнга, стандартные таблицы Юнга. Соответствие Ричардсона-Шенстеда-Кнута. Формула крюков для числа стандартных таблиц.

3. Разные способы вычисления многочленов Шура: формулы Пьери, Джамбелли, Якоби-Труди.

4. Правило Литтлвуда-Ричардсона.

5. Приложения к теории представлений: представления симметрической группы. Формула Фробениуса для характера, связь с многочленами Шура. Правило ветвления. Правило Мурнагана--Накаямы.

6. Приложения к теории представлений (2): многочлены Шура как характеры представлений полной линейной группы. Разложение тензорных произведений.

7. Приложения к геометрии: задачи исчислительной геометрии. Грассманианы. Многообразия Шуберта. Пересечение многообразий Шуберта. Связь между кольцом когомологий грассманиана и кольцом симметрических функций. Если останется время: геометрическое правило Литтлвуда--Ричардсона (по Р.Вакилу и А.Кнутсону.)

8. (если останется время) q-аналоги симметрических функций. Многочлены Костки-Фулкса, функции Холла-Литтлвуда.