На главную страницу НМУ

Денис Николаевич Терешкин

Алгебраическая теория категорий

Программа курса Этот курс является введением в теорию категорий для широкой математической аудитории. Предлагаемый материал вряд ли будет выходить за рамки аналогичных курсов, прочитанных другими людьми.

Название курса означает, что я предлагаю не смотреть на категорные конструкции ни а) слишком по-структуралистски (предполагая, что категории — это всегда категории чего-то, неких математических объектов со структурой), ни б) чисто формально, как на некоторый графический калькулус точек и стрелок; а подходить к категории как к чему-то, равнозначному кольцу или группе (которые, конечно, являются частными случаями), и исследовать категорию с точки зрения её представлений, подкатегорий и факторкатегорий.

В качестве эпиграфа и описания необходимых предварительных знаний приведу цитату из введения к книге Барри Митчелла "Category theory": A number of sophisticated people tend to disparage category theory as consistently as others disparage certain kinds of classical music. When obliged to speak of a category, they do so in an apologetic tone, similar to the way some say, "It was a gift — I've never even played it" when a record of Chopin Nocturnes is discovered in their possession. For this reason I add to the usual prerequisite that the reader have a fair amount of mathematical sophistication, the further prerequisite that he have no other kind.

Предполагаемая программа

Часть А.

1. Определения категории. Двойственность.

2. Функторы, естественные преобразования.

3. Сопряжённые функторы.

4. Категория Set. Представимые функторы. Теорема Йонеды.

5. (Ко)пределы.

6. Коммутирование (ко)пределов с функторами.

7. Теорема Фрейда о существовании сопряжённого функтора.

8. Функтор элементов. Расслоение категорий. Конструкция Гротендика.

--- основная программа заканчивается в этом месте; дополнительные темы ниже будут входить в ---

9*. Локальные и глобальные расширения Кана.

10*. Спуск (descent), данные спуска. Интерпретация спуска как расширения Кана.

Часть В.

0. "Категория" категорий. Классы vs множества.

1. (Ко)фильтрованные категории. Коммутирование пределов и копределов.

2. Локально представимые категории. Алгебраические теории.

3. Предпучки. Локально представимые категории как локализующие категории предпучков.

4. Локально представимые категории как свободные пополнения.

5*. Достижимые категории. Категория достижимых категорий.

Часть С*.

0. Локализация категорий: постановка задачи. Опять классы vs множества.

1. Пример: локализация категория малых категорий по эквивалентностям.

2. Предлагаемые решения (модельные категории, дериваторы, ∞-категории) и их недостатки.

3. ...

Литература к курсу

Для получения оценки нужно будет написать 2 домашних контрольных работы (в первую неделю ноября, 70% итоговой оценки, и во вторую неделю декабря, 50% итоговой оценки).