[Семинары (135K) (Exercises)|Экзамен (27K) (Exam)]
[Семинары (44K) (Exercises)|Экзамен (12K) (Exam)]
Комплексная плоскость и ее компактификация (стереографическая проекция, проективная прямая ${\bf CP}^1$). Дробно-линейные преобразования (матричное представление, групповая структура, сохранение ангармонического отношения, круговое свойство, конформность, сохранение симметрии, действие на тройках точек, связь с проективными преобразованиями, автоморфизмы круга и полуплоскости). Элементарные функции комплексного переменного: экспонента, логарифм, тригонометрические и им обратные, степенная, Жуковского.
Запись дифференциала в комплексной форме, уравнения Коши-Римана, связь между комплексным и вещественным якобианами, теоремы об обратной и неявной функциями.
Интегрирование 1-форм $Pdx+Qdy$, интеграл вида $\int_{\gamma}fdz$, формула Ньютона-Лейбница и ее следствия, интегральная теорема Коши, теорема о первообразной, интегралы по гомотопным кривым, интегральная формула Коши.
Степенные ряды: лемма Абеля, формула Коши-Адамара, разложение ${\bf C}$-дифференцируемой функции в степенной ряд. Степенные ряды от нескольких переменных (область сходимости, сопряженные радиусы сходимости, теорема о логарифмической выпуклости).
Четыре эквивалентных определения голоморфной функции, кольцо голоморфных функций $\mathcal O(D)$, сходимость и топология в $\mathcal O(D)$, теорема Вейерштрасса о сходящейся последовательности. Действия со сходящимися степенными рядами. Бесконечная дифференцируемость, представимость рядом Тейлора, теорема единственности (четыре формулировки), кратность нуля, неравенства Коши, теорема Лиувилля, принцип максимума.
Ряды Лорана, кольцо сходимости, разложение функции голоморфной в кольце, его единственность, неравенства Коши, классификация изолированных особых точек, особые точки на многообразии, мероморфные функции на $\overline {\bf C}$, $\infty$ как особая точка. Формулировка теорем Пикара.
Теорема о вычетах, вычисление интегралов и суммирование рядов, принцип аргумента, теорема Руше, теорема Гурвица, принцип открытости.
Продолжение ростка вдоль кривой, теорема о монодромии, полная аналитическая функция, выделение однозначной ветви, риманова поверхность полной аналитической функции, классификация изолированных особых точек многозначной функции, ряды Пюизо.
Конформность в точке и области, связь с голоморфностью, лемма Шварца, автоморфизмы круга, плоскости и сферы, принцип симметрии. Формулировки теоремы Римана и теоремы о соответствии границ, способы нормировки отображения.
