Г.Б.Шабат (лекции), Г.Б.Шабат, Н.Я.Амбург, Е.М.Крейнес (упражнения)

Теория функций комплексной переменной

Листки к семинарам (Exrccise sheets)

Postscript

[Листок 1 (33K)|Листок 2 (29K)|Листок 2a (32K)|Листок 3 (25K)]

Zipped postscript

[Листок 1 (13K)|Листок 2 (12K)|Листок 2a (14K)|Листок 3 (10K)]

Программа курса

Часть I. Основы теории.

Предварительные сведения

Комплексные числа: алгебра, геометрия, топология. Элементы двумерной топологии. Дифференциальные формы и интегрирование. Алгебра формальных рядов. Простейшие понятия теории категорий.

1. Локальная теория голоморфных функций.

Геометрия аффинных преобразований плоскости. Уравнения Коши-Римана. Комплексные дифференциальные формы. Сходящиеся степенные ряды. Равносильность определений. Понятие аналтитческой функции.

2. Сходящиеся степенные ряды.

Круг сходимости. Поведение функции на границе круга сходимости; связь с рядами Фурье. Композиция сходящихся рядов. Обращение степенных рядов. Росток аналитической функции.

3. Аналитическое продолжение.

Переразложение сходящегося ряда. Элемент аналитической функции; согласованные элементы. Аналитическое продолжение вдоль пути. Эквивалентность путей. Определение аналитической функции. Многозначные функции. Монодромия.

4. Риманова поверхность аналитической функции.

Категория аналитических продолжений; морфизмы и прямые пределы. Риманова поверхность аналитической функции как максимальный объект; ее топология, атласы и функции перехода. Примеры.

5. Особые точки.

Изолироавнные особые точки. Локальные монодромия. Однозначный и многозначный типы. Степенной и логарифмический характер особых точек многозначного типа. Полюса и существенно особые точки. Ряды Лорана. Теорема Сохоцкого. Мерофорфные дифференциалы и их полюса. Вычеты.

6. Абстрактные римановы поверхности.

Определение. Морфизмы римановых поверхностей. Введение в проблемы классификации.

7. Методы построения аналитических функций.

Принцип максимума. Гармонические функции. Семейства функций. Вариационные задачи. Принцип Дирихле.

8. Униформизация.

Теорема Римана. Односвязные римановы поверхности. Дискретные группы преобразований односвязных римановых поверхностей. Теорема Пикара.

Часть II. Функции комплексной переменной.

0. Принципы классификации функций.

Исторический подход. Геометрическая классификация. Коэффициенты степенных рядов. Дифференциальные и функциональные уравнения.

1. Алгебраические функции.

Рациональные функции. Многозначные алгебраические функции.

2. Интегралы алгебраических функций.

Элементарные функции как интегралы. Эллиптические интегралы. Теоремы сложения. Об общих интегралах.

3. Гипергеометрические функции.

Гипергеометрические ряды. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение и его частные случаи. Интегральные представления.

4. Конформные отображения.

Элементарные функции. Круг и прямолинейные многоугольники. Круговые многоугольники.

5. Целые функции.

Рост, порядок, тип. Теорема Фрагмена-Линделефа. Разложения в бесконечные произведения. Введение в теорию равнораспределения Неванлинны.

6. Другие специальные функции.

Гамма-функция. Ряды Дирихле и L-функции. Дзета-функция. Приложения к арифметике. Периодические и квазипериодические функции. Модулярные функции.

7. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

Стандартные примеры.

8. Асимптотические оценки.

Определение асимптотического разложения. Метод перевала. Приложения: формула Стирлинга, асимптотика ортогональных многочленов.

9. Нерешенные проблемы.

Нули дзета-функции. Проблема коэффициентов. Элементарное доказательство теоремы о коммутирующих многочленах.