На главную страницу НМУ

А. А. Панчишкин

p-адические числа, модулярные формы и их приложения

Курс рекомендован для студентов 3-5 курса

Материалы курса

PDF

[ Локальные и глобальные методы в арифметике. Модулярные формы и р-адические числа (1,6M)]

Экзамен

PDF

[ Условия письменного экзамена (188K)]

Предлагаемый курс рассчитан на студентов и аспирантов, желающих познакомиться с теорией p-адических L-функций, связанных с модулярными формами, а также с их приложениями в диофантовой геометрии. Рассматриваются локальные и глобальные методы в арифметике. Дается обзор теории p-адических семейств модулярных форм, а также открытых проблем и задач теории p-адических L-функций.

Программа:

1. Сравнения и p-адические числа, лемма Гензеля. Поле Тэйта.

2. Непрерывные и аналитичические функции. Критерий Малера. Многоугольники Ньютона.

3. Меры, распределения и алгебра Ивасавы. Сравнения Куммера и p-адическая L-функция Куботы-Леопольдта.

4. Модулярные формы и L-функции.

5. Представления Галуа и сравнения между модулярными формами.

6. Метод проекции модулярных распределений. Примеры построения p-адических L-функций.

7. Обзор приложений к проблемам диофантовой геометрии.

8. Открытые проблемы и задачи в теории p-адических L-функций.

Список литературы:

1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. Изд. 3е, доп. М.: Наука, 1985.

2. Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета функции. М.: Мир, 1982.

3. Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.

4. Manin Yu.I. and Panchishkin A.A., Introduction to Modern Number Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 49 (2nd ed.), Springer-Verlag, 2005, 514 p. (Русск. пер. М.: МЦНМО, 2008.)

5. Панчишкин А. А.. Локальные и глобальные методы в арифметике. Математическое просвещение, сер. 3, вып. 12, 2008 (55?79)

6. Панчишкин А. А.. Модулярные формы и p-адические числа. arXiv:0709.1611 (2007)

7. Panchishkin A.A.. A new method of constructing p-adic L-functions associated with modular forms, Московский Математический Журнал, 2 (2002), N 2, 1-16

8. Bocherer S., Panchishkin A.A. Admissible p-adic measures attached to triple products of elliptic cusp forms, Documenta Math. Extra volume : John H.Coates' Sixtieth Birthday (2006), 77-132.