На главную страницу НМУ

Я.Абрамов.

Теория кривых: по направлению к построению якобиана

Листки (Exercise sheets).ps

[Листок 1 .ps|Листок 2 .ps]

В курсе рассказывается содержание статьи G. Anderson'а http://arxiv.org/abs/math/0112321 , где приведено коммутативно-алгебраическое построение якобиана кривой (над алгебраически замкнутыми полями, хотя можно и снять это ограничение). При прохождении курса будет доказано и введено многие из теории кривых.

Предварительные требования:
знать, что такое размерность гладкого алгебраического многообразия.
Курс ориентирован для студентов 2-5 курса.

Программа по курсу:

  1. Нормирования полей, кратности нулей и полюсов, локальные кольца, алгебра 1-форм над полем.

  2. Дивизоры Вейля (на гладких кривых), главные дивизоры, линейные расслоения, группа Вейля.

  3. Пример с эллиптическими кривыми над произвольным полем: группа Вейля эллиптической кривой связана с групповой структурой на эллиптической кривой (теорема Абеля-Якоби над произвольным полем).

  4. Рациональные сечения линейных расслоений, эквивалентность пучка сечений и пучка O_D.

  5. Пример применения расслоений в построении абелевых накрытий Галуа.

  6. Адели кривой, Теорема Римана-Роха для кривых (по крайней мере, будет формулировка, родственные факты, упражнения, но доказательство перенесем на конец курса, если хватит времени, родственные факты это теоремы Мамфорда об алгебре, построенной по дивизору, аппроксимационная теорема Артина-Уэплса о дивизорах).

  7. Кодирование дивизоров фиксированной большой степени матрицами Сегре с коэффциентами в некоторых рациональных функциях на кривой.

  8. Тензорное перемножение матриц Сегре и как из этого получить сумму и разность дивизоров.

  9. Как строить абстрактное отображение Абеля: тензорная степень алгебры и ее связь с линейной алгеброй, определение абелианта набора матриц, что дает абелиант набора матриц Сегре с коэффициентами в алгебре.

  10. Явление якобиана, примеры (например для плоских кривых), возможные обобщения

Литература по курсу:

статья Андерсона

статьи Khuri-Makdisi

Ван-дер-Варден, "Алгебра"

Серр, "Алгебраические группы и теория полей классов"

Husemoller, "Elliptic curves"

Rambler's Top100