На главную страницу НМУ

Эдуард Бальзин

Гомотопическая Алгебра - Модельные Категории

Лекции:

[Лекции .pdf]

Листки (Exercise sheets. pdf)

[Листок 1 .pdf

Примерная программа курса

1. Crash Course по теории категорий.
   1.1 Определение категорий, функторов, морфизмов функторов; примеры.
   1.2 Предпучки. Лемма Ионеды.
   1.3 Сопряженные функторы. Примеры. Монады*. Эквивалентность категорий.
   1.4 Пределы и копределы. Примеры. Непрерывность функторов и категория элементов предпучка.
   1.5 Свойства подъема (lifting properties) в категории. Аргумент о ретракте и свойства стабильности.

2. Проблема локализации категорий.
   2.1 Определение локализации категорий. Существование локализации для произвольной (малой) категории.
   2.2 Понятие производных функторов. Гомотопические пределы и копределы.

3. Модельные категории как способ решать задачу локализации.
   3.1 Определение замкнутой модельной категории по Квиллену. Примеры (без доказательства). Квилленовы пары функторов.
   3.2 Теория гомотопий в модельной категории. Классическая гомотопическая категория и лемма Уайтхеда. Альтернативное описание локализации модельной категории по слабым эквивалентностям и существование производных функторов.

4. Примеры.
   4.1 Комплексы модулей над кольцом. Связь с классическими результатами гомологической алгебры.
   4.2 Симплициальные множества. Определение, геометрическая реализация, фибрантные симплициальные множества, гомотопические группы.
   4.3 Модельная структура на симплициальных множествах. Квиллен-эквивалентность симплициальных множеств и топологических пространств.

5. Различные вопросы
   5.1 Кофибрантно-порожденные модельные категории. Аргумент малого объекта. Теоремы о "переносе" кофибрантной структуры.
   5.2 Симплициальные модельные категории. Модельная структура на категориях симплициальных объектов в категориях, структурированных над категорией множеств.
   5.3 Диаграммы в кофибрантно-порожденных модельных категориях.
   Проективная и инъективная структура на категориях диаграмм.
   Модельная структура Риди (Reedy)*.

6. Гомотопические (ко)пределы.
   6.1 Гомотопические расслоенные и корасслоенные произведения. Примеры.
   6.2* Общие гомотопические (ко)пределы.
   

7. * Локализация по Бусфельду (Bousfield) модельных категорий.

8. * Современные приложения модельных категорий.

Литература

Dwyer, Spaninski, 'Homotopy theories and Model Categories'

Daniel Quillen, 'Homotopical Algebra'

Phillip Hirschhorn, 'Model Categories and Localization'

Mark Hovey, 'Model Categories'

Гельфанд, Манин, "Гомологическая Алгебра".