На главную страницу НМУ

Алгебра, 2 семестр (весна 1998)

Б.Л.Фейгин

Задачи к семинарам:

Postscript-файлы

[Занятие 1 (37 K)]

Запакованные zip-ом Postscript-файлы

[Занятие 1 (14 K)]

Задачи к экзамену (Exam problems)

Повторный экзамен было решено провести по облегченной программе.

Программа повторного (осеннего) экзамена

Здесь перечислены некоторые знания по алгебре, которыми нужно обладать, заканчивая 1 курс. По каждому разделу мы приводим названия и формулировки некоторых тестовых теорем и задач. Умение их решать может рассматриваться как некоторое свидетельство того, что Вы обладаете некоторыми знаниями по соответствующему разделу.

Некоторые книги, в которых можно посмотреть доказательства теорем:

1. Б.Л. Ван-дер-Варден, профессор университета в Гронингене. Современная алгебра, в 2х томах, ОНТИ НКТП СССР, М.-Л., 1937. (существует более позднее издание под названием "Алгебра")
2. Кострикин. Введение в алгебру.
3. С. Ленг. Алгебра

На экзамене будут предложены вопросы, совпадающие с приведенными в этой программе, или их небольшие вариации.

1. Линейная алгебра
   1. Пусть W - линейное пространство, а U_1,..., U_n - его подпространства. Прямой суммой двух наборов подпространств (W; U_1, \dots, U_n) и (W'; U_1',..., U_n') называется набор (W \oplus W'; U_1\oplus U_1', \dots, U_n \oplus U_n') [\oplus означает прямую сумму]. Набор называется неразложимым, если он не может быть представлен в виде прямой суммы двух ненулевых наборов подпространств. Перечислите неразложимые наборы подпространств при n = 0, 1, 2, 3.
   2. Докажите теорему о жордановой нормальной форме оператора (Кострикин, Ленг).
   3. Алгеброй Клиффорда называется ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел, порожденная образующими x_1, ..., x_n и соотношениями x_i^2 = 1, x_i*x_j + x_j*x_i = 0, i,j = 1,..., n. [Звездочка обозначает умножение]. Докажите, что
      1. При n=2 алгебра Клиффорда изоморфна алгебре матриц второго порядка.
      2. При n=3 алгебра Клиффорда изоморфна прямому произведению двух алгебр матриц второго порядка.
2. Группы
   1. Теорема Силова (см. Кострикин).
   2. Перечислите все группы порядков p^2 и p^3 при p простом.
   3. Докажите, что группа четных подстановок n элементов, где n больше или равно 5, не содержит нетривиальных нормальных подгрупп (см. Ван дер Варден).
3. Кольца, поля, расширения
   1. Докажите, что число элементов во всяком конечном поле есть степень простого числа, и существует ровно одно поле с таким числом элементов (см. Ленг, Ван дер Варден).
   2. Любое конечное тело есть поле (см. Ленг, Ван дер Варден).
   3. Опишите все простые идеалы в кольце Z[i] гауссовых целых чисел.
   4. Докажите, что целые элементы алгебраического расширения образуют кольцо (см. Ленг).
   5. Расклассифицировать все кольца из p^2 элементов.