Производящие функции (весна 1998)

С.К.Ландо, М.Н.Вялый

Задачи к экзамену (Exam problems)

20 мая 1998 (May 20, 1998)

[Postscript файл (22 K)|Запакованный zip'ом postscript-файл (9 K)]

22 сентября 1998 (September 22, 1998)

[Postscript файл (76 K)|Запакованный zip'ом postscript-файл (16 K)]

Программа курса

Формальные степенные ряды и производящие функции. Действия над формальными степенными рядами.
Элементарные производящие функции. Дифференцирование и интегрирование производящих функций. Алгебра и топология формальных степенных рядов.
Производящие функции для известных последовательностей: геометрическая прогрессия, последовательность Фибоначчи, числа Каталана. Рекуррентные соотношения и рациональные производящие функции. Произведение Адамара рациональных производящих функций.
Формальные грамматики с однозначным выводом. Уравнение Лагранжа и теорема Лагранжа. Язык Дика.
Аналитические свойства функций, представляемых степенными рядами, и асимптотика их коэффициентов. Асимптотика гипергеометрических последовательностей. Асимптотика коэффициентов функций, связанных между собой уравнением Лагранжа
Производящие функции нескольких переменных. Треугольник Паскаля. Экспоненциальные производящие функции. Треугольник Дика. Треугольник Бернулли--Эйлера и перечисление змей. Представления производящих функций в виде непрерывных дробей. Сравнения в последовательностях. Обыкновенные диффереренциальные уравнения на производящие функции.
О перечислении вложенных графов. Перечисление помеченных деревьев. Производящие функции для непомеченных, помеченных, упорядоченных и циклически упорядоченных объектов. Перечисление плоских и бинарных деревьев. Вложение графа в поверхность. О числе склеек многоугольника.