Ближайший доклад (Next seminar)
Примерные интересы семинара: представления всевозможных групп (конечных групп, групп Ли, бесконечномерных групп), некоммутативный гармонический анализ(= анализ при наличии группы симметрий), алгебра и случайные процессы, симметрические функции.
Содержание докладов будет вывешиваться на доске, а также высылаться(заинтересованным людям) по e-mail'у.
Interests of the seminar: representations of various groups (finite, finite dimensional, infinite dimensional), noncomutative harmonic analysis (= analysis with symmetries), matrix analysis, algebra and stochastic processes, special functions.
Для полной группы диффеоморфизмов, группы диффеоморфизмов, сохраняющих объем, и группы симплектоморфизмов многобразия $M^n$ рассматриваются конструкции следующего вида. Для каждого подмножества $B\subset M^n$, гомеоморфонго шару, рассматривается группа $D(B)$, состоящая из диффеоморфизмов, сосредоточенных в $B$. Далее берется амальгамированное произведение всевозможных групп $D(B)$. В докладе обсуждаются получаемые таким образом центральные расширения групп диффеоморфизмов, а также применение конструкций этого типа к другим группам и алгебрам Ли.
Комментарий к состоявшемуся докладу.
Берется группа $G$, и семейство подгрупп $K_\alpha$, ее порождающих. Строится ноавя группа $R$, с образующими $a_g$, нумеруемыми элементами $g$ из объединения $K_\alpha$. Соотношения $$ a_g a_h = a_{gh}$$ если $g,h$ лежат в одной подгруппе $K_\alpha$.
Ясно, что получается расширение группы $G$, довольно часто оно почему-то оказывается центральным.
Ядро Березина -- это функция $$|\det(1-zu^*)|^{-\alpha}$$ на пространстве матриц с нормой $<1$. Это ядро определяет некоторое пространство функций на некомпактном симметрическом пространстве $G/K$, это пространство естественно рассматривать как "деформацию" пространства $L^2$. В последнее время стало ясно, что анализ ядер Березина -- очень богатая задача. Например, в связи с ней возникает много явно вычисляемых матричных интегралов, она связана с довольно тонкими теоретико-функциональными эффектами, с другой стороны она имеет чисто алгебраические приложения, а именно дает простые конструкции для весьма экзотичных унитарных представлений полупростых групп.
Цель доклада -- описать явное разложение для представления группы $G=O(p,q)$, порожденного ядром Березина (в случае больших $\alpha$); мера Планшереля (ee вычисление вполне элементарно) задается формулой
\begin{eqnarray*}
\prod_{k=1}^p\frac
{1}
{\Gamma(2\alpha-m+k)}
\times
\prod_{k=1}^p \Bigl|
\frac{\Gamma(\alpha+is_k-(q+p)/4+1/2) \Gamma((q-p)/2+is_k)}
{\Gamma(is_k)} \Bigr|^2
\times\nopagebreak \\ \times
\prod_{1\le k\le l\le p} (s_k^2-s_l^2)\, {\rm th} (s_k-s_l)\, {\rm th}(s_k+s_l)
\end{eqnarray*}
Есть некоторый "бесконечномерный" объект $\cal S$, который естественным образом проектируется на симметрические группы $S_n$ любого порядка. Формальная конструкция: рассматриваем проекцию $S_{n+1}\to S_n$, которая есть вычеркивание $(n+1)$ из разложения $g\in S_{n+1}$ в произведение независимых циклов; далее берем проективный (обратный) предел. Пространство $\cal S$ группой не является, однако его элементы можно умножать слева и справа на подстановки любого порядка. Пусть $t>0$. Рассмотрим на группе $S_n$ (вероятностную) меру, определяемую свойством: мера подстановки $g$ равна $$\frac{t^{[g]}} {t(t+1)\dots(t+n-1)}$$ где $[g]$ -- число независимых циклов в $g$ (при $t=1$ мера точки есть $1/n!$). Эти меры согласованы с проекциями $S_{n+1}\to S_n$. В пределе при $n\to\infty$ получается некоторая мера $\mu_t$ на $\cal S$, она квазиинвариантна относительно умножений слева и справа.
В докладе будет обсуждаться гармонический анализ на $\cal S$.
Доклад посвящен эвристическим аспектам идемпотентного анализа В.П.Маслова и математики полуколец. Существует нетривиальная аналогия между математикой полуколец и квантовой механикой. Напри% мер, поле вещественных чисел может рассматриваться как квантовый объект, а идемпотентные полукольца -- как ``классические'' или ``полуклассические'' объекты. Имеется (эвристическое) соответствие между важными конструкциями и результатами над полями и аналогичными конструкциями и результатами над идемпотентными полукольцами. Например преобразованию Фурье соответствует преобразование Лежандра. Принципу суперпозиции в квантовой механике (т. е. линей% ности уравнения Шредингера) соответствует линейность уравнений Беллмана и Гамильтона-Якоби над идемпотентными полукольцами.
Кратко обсуждаются идемпотентные версии функционального анализа и теории представлений.
Известно, что универсальная обертывающая алгебра $U(g)$ алгебры Ли не содержит делителей нуля, и в частности проекторов. Оказывается, что есть некоторое пополнение $T(g)$ алгебры $U(g)$, содержащее много проекторов. Среди них выделенную роль играет т.н. экстремальный проектор $p$ определяемый уравнением
$$
e_{\alpha}p=pe_{-\alpha}=0\qquad \mbox{ for any } \alpha \in \Delta_+,
$$
где $e_{\pm\alpha}$ - стандартные образующие $g$, а
$\Delta_+$ -- множество положительных корней $g$
Показывается, что $p$ имеет вид
$$
p=\prod_{\alpha\in \vec{\Delta}_+}p_{\alpha}\qquad\qquad (*)
$$
где
$$
p_{\alpha}=\sum_{n\ge 0}f_{n}(h_{\alpha})e_{-\alpha}^ne_{\alpha}^n
$$
$$
f_{n}(h_{\alpha})=
\prod_{k=1}^{n-1}(h_{\alpha}+\rho{\alpha}+\frac{n}{2}(\alpha,\alpha))
\qquad\qquad (**)
$$
Здесь $\rho$ -- линейная функция $\Delta$, определенная условием
$\rho(\alpha_i)=1$ для всех простых корней $\alpha_i$.
Другая форма записи экстремальных проекторов --
$$p=\prod\limits_\alpha \prod\limits_{n=1}^\infty
\left(1-
\frac{e_{-\alpha}e_{\alpha} }
{n\, h_{\alpha} +n+1}\right)
$$
Оказывается, что формулы (*)-(**) верны для всех контраградиентных алгебр Ли и супералгебр, а также, в видоизменненном виде для их $q$-аналогов
Обсуждаются также нормальные упорядочения корневых систем для алгебр Ли и их $q$-аналогов (необходимые для задания правильного порядка в (*) ) Показывается возможность перехода от одной системы к другой с помощью инверсий в алгебрах ранга 1 и 2.
Обсуждаются приложения и обобщения экстремальных проекторов.
Построено семейство мер на группе диффеоморфизмов компактного многообразия, которые квазиинвариантны относительно одностороннего действия группы диффеоморфизмов большей гладкости.
В случае диффеморфизмов окружности эта мера формально записывается как интеграл $$\int_Xe^{-\int_{S^1}^{}S_f\left( t\right) dt}df$$ где $$ S_f\left( t\right) =\frac{f^{\prime \prime \prime } \left( t\right) }{f^{\prime }\left( t\right) }-\frac 3 2 \left( \frac{f^{\prime \prime }\left( t\right) }{f^{\prime } \left( t\right) }\right) ^2$$ -- производная Шварца, а $X\subset Diff^1(S^1)$ -- борелевское множество. Эта конструкция позволяет получить неприводимые представления группы диффеоморфизмов окружности
Строятся также меры, квазиинвариантные относительно группы диффеоморфизмов, на пространстве кривых и поверхностей в $\R^n$
Другое описание примерно той же конструкции. Пусть $\phi$ -- диффеоморфизм отрезка. Пусть $$Q_\phi=\phi''/\phi'$$ Далее рассматривается мера Винера на пространстве функций $q$. Оказывется, что обратный образ меры Винера при отображении $\phi\mapsto Q_\phi$ является квазиинвариантной мерой на группе диффеоморфизмов.
О положении конструкции по отношению к известному миру. Имеется однопараметрическое семейство унитарных представлений группы диффеоморфизмов окружности, нумеруемых диффузиями дробного порядка $s\in\R$. Представления со старшим весом соответствуют $s=1/2$. При $s>1/2$ эти представления приводимы, а представления Шавгулидзе лежат в спектрах этих приводимых представлений. Работа представляется мне очень существенной точкой опоры в этой запутанной местности.
Для многомерных диффеоморфизмов это, кажется, наиболее содержательная конструкция представлений
Есть некоторое сходство с китайским рестораном (что-то вроде меры Хаара на бесконечномерной группе), но оно, по моим ощущениям, внешнее.
Дается описание экстремальных проекторов как элементов некоторых расширений универсальных обертывающих алгебр контраградиентных алгебр Ли. Обсуждаются следующие приложения: когомологические свойства модулей, гиперсимметрии экстремальных уравнений, описаний алгебр Микельсона и др.
We (V.Fock and A.Rosly) consider the space of graph connections (lattice gauge fields) which can be endowed with a Poisson structure in terms of a ciliated fat graph. (A ciliated fat graph is a graph with a fixed linear order of ends of edges at each vertex.) Our aim is however to study the Poisson structure on the moduli space of locally flat vector bundles on a Riemann surface with holes (i.e. with boundary). It is shown that this moduli space can be obtained as a quotient of the space of graph connections by the Poisson action of a lattice gauge group endowed with a Poisson-Lie structure.
Будут рассказаны результаты статьи С.В.Керова "Gaussian Limit for the Plancherel Measure of the Symmetric Group" (C.R.Acad.Sci.Paris, { 316}(1993), 303--308). Рассматривается множество диаграмм Юнга размера $n$, снабженное т.н. мерой Планшереля, а именно считается, что данная диаграмма имеет вес, пропорциональный квадрату размерности соответствующего представления симметрической группы. Далее $n$ устремляется к $\infty$.
О предельном поведении диаграмм Юнга довольно много известно. Например Вершик и Керов (1977) нашли предельную форму типичной диаграммы Юнга (она имееет форму первообразной от ${\rm arcsin} \, x$). (это аналог "закона больших чисел").
Керов нашел аналог "центральной предельной теоремы", а именно оказывается: что отклонение от предельной формы есть гауссова мера с ковариационной функцией $$B(2\cos\phi, 2\sin\psi)= \frac{1}{\sin\phi\sin\psi} \ln\left| \frac {\sin(\phi-\psi)} {\sin(\phi+\psi)} \right| -1 $$ Изучается также предельное распределение длин пeрвых $k$ строк (оно тоже гауссовское) и ряд других аналогичных задач
P.S. Если я не ошибаюсь, больших теоретико-вероятностных познаний у слушателей не предполагается (Ю.А)
