 |
МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ |
 |
На главную страницу
МЦНМО-НМУ
К текущим докладам
English edition of colloquium talks for students" (a predecessor of Globus seminar)
ВИДЕО-записи некоторых докладов
Цель семинара: восстановить единство математики — мы должны (стремиться) понимать, что делают наши коллеги.
Семинар проходит (как правило) раз в две недели по четвергам в 15.40 в конференц-зале.
Приглашаются все интересующиеся математикой.
Аbstract:
Известно, что связная компонента единицы группы автоморфизмов
проективного
алгебраического многообразия является алгебраической группой. Для
аффинного
алгебраического многообразия это, вообще говоря, не так; структура
этой
группы остается таинственной уже в случае аффинного пространства. На
гибком аффинном многообразии эта группа действует транзитивно, и даже
бесконечно транзитивно, что невозможно для группы Ли.
В докладе будут даны примеры гибких многообразий, - таковы многообразия общих матриц, поверхности Гизатуллина, аффинные торические многообразия, аффинные конуса над некоторыми поверхностями дель Пеццо или трехмерными многообразиями Фано, над многообразиями флагов, надстройки... Гибкость порождает ряд других замечательных свойств.
Аbstract:
I will present a joint work with Antoine Chambert-Loir, in which we
develop
kind of a 'harmonic analysis' formalism on Berkovich spaces. More
precisely,
we define:
- real differential forms of bidegree (p,q) on a Berkovich space X of
dimension n;
- the integral of a (n,n) form (with compact support) on X;
- the boundary integral of a (n,n-1) form.
We have Stokes and Green formulas in this context. We define currents
by
duality, and the Poincar-Lelong formula holds.
We are also able to associate to a metrized line bundle (L,||.||) a curvature form c_1(L,||.||) (if ||.|| is not smooth, this is not a form in general, but a current). If (L,||.||) comes from a formal model, c_1(L,||.||)^n is shown to be a measure, which coincides with a measure previously defined by Chambert-Loir in terms of intersection theory on the special fiber (in his work on p-adic equidistribution of points of small height).
Аbstract:
Статья Марка Каца 1966 года «Можно ли услышать форму барабана?»
вызвала в свое
время волну интереса к спектральной геометрии ЪЪ восходящей еще к
Рэлею и
Герману Вейлю области математики, находящейся на стыке
дифференциальной
геометрии, дифференциальных уравнений и функционального анализа.
Спектральная геометрия изучает связь геометрии областей или
многообразий
с собственными числами оператора Лапласа-Бельтрами (и родственных
операторов),
а также с геометрией нулей соответствующих собственных функций.
В докладе будет дан обзор некоторых современных задач и результатов
в спектральной геометрии, включая результаты докладчика. Большая
часть доклада
доступна для понимания старшекурсников.
Аbstract:
В докладе пойдет речь о недавно замеченной замечательной, пока, во
многом,
гипотетической, связи между гомологиями Хованова-Розанского
торических
узлов, (q,t) рациональными числами Каталана, конечномерными
представлениями
рациональных алгебр Чередника и геометрией схем Гильберта точек на
кривых
вида x^m=y^n. Я постараюсь ввести все упомянутые выше объекты и
объяснить
гипотетические связи между ними.
Основные ссылки:
Дополнительные ссылки:
Аbstract:
It has been known since at least Fermat that the set of integral
solutions
to the equation x^2-dy^2=1 form a finitely generated group of rank
one.
It has been known since at least PoincarЪЪ that the set of rational
solutions
to equations of the type y^2=x^3+ax+b form a group; in fact, as
Mordell
proved, the latter group is also finitely generated.
There is a natural notion of size or height of solutions, so an
important and
natural question is to estimate the minimal size of a set of
generators.
The questions can easily be generalized on one hand to the group of
units
of a number field and, on the other hand, to the group of rational
points
of an abelian variety over a global field.
The answer for the first case is essentially known, though there are
important
unsettled related questions; the answer for the second case is
essentially
conjectural. We will discuss what we know, conjecture and give
examples where
theorems may be proven. This will take us to a journey through some
arithmetic
geometry, zeta functions etc., i.e. several number theorists
favourite toys.
Аbstract:
Ромбический тайлинг - это замощение центрально симметричного полигона
ромбическими плитками (тайлами).
Интерес к изучению ромбических тайлингов был вызван тайлингами
Пенроуза и квази-кристаллами,
их появлением в контрпримере к одной из гипотез Манина и Шехтмана о
структуре высших порядков Брюа
и гипотезами Зелевинского и Леклерка о структуре квазикоммутирующих
квантовых миноров. Будет
рассказано об обобщенных ромбических тайлингах, в которых ромбические
плитки бывают к тому же
и двух цветов (белые и черные), связанных с ними комбинаторных
объектах (обобщенные проволочные
диаграммы, планарные кластерные графы, плабик графы Постникова), и
применении этих структур
в решении гипотез Зелевинского и Леклерка, Скотта и Шпейера. Если
позволит время, будет рассказано
и о приложении ромбических тайлингов для построения кристаллов
Кашивары и парадокса голосования.
Доклад основан на совместных работах с В.И.Даниловым и
А.В.Карзановым.
Аbstract:
Доклад посвящен обзору недавних результатов в бирациональной
алгебраической
геометрии и их приложениям к изучению конечных групп бирациональных
автоморфизмов.
В частности, планируется обсудить конечные подгруппы в группах
Кремоны.
Аbstract:
Доклад посвящен обзору математических моделей, возникающих при
исследовании
образования крупномасштабной структуры распределения масс во
Вселенной, и физически
осмысленных результатов, полученных в этих моделях. Будет рассказано
несколько сюжетов,
связанных с работами U. Frisch и его коллег (в том числе сотрудников
Лаборатории Понселе):
- гидродинамика массивной бесстолкновительной среды и "монокинетические" течения;
- восстановление истории Вселенной как задача транспортной оптимизации;
- модели переноса масс в разрывных течениях;
- аналитичность лагранжевых траекторий в гельдеровских полях скоростей.
Аbstract:
Системы перемежающихся частиц возникают при описании спектров
подматриц эрмитовых матриц.
Дискретная версия этого объекта (схемы Гельфанда-Цетлина, или, что то
же самое, полустандартные таблицы Юнга) отвечает ветвлению представлений
унитарных групп U(N) при ограничении на меньшие подгруппы U(N-1), U(N-2),...
Доклад будет посвящен случайным системам перемежающихся частиц, а также их приложениям. Основной акцент будет сделан на модели случайных замощений многоугольников на треугольной решетке ромбиками трех типов. Здесь новые результаты докладчика (о детерминантной структуре вероятностных мер на системах перемежающихся частиц) позволили решить вопросы асимптотики замощений, которые оставались открытыми после работ Йоханссона, Кениона и Окунькова. Планируется также обсудить приложения к асимптотической теории представлений и модели стохастической динамики на системах перемежающихся частиц.
Аbstract:
Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины
его сторон. Если же мы возьмём многоугольник с хотя бы 4 сторонами, то
его площадь не может быть выражена через длины его сторон, так как он
может изгибаться с сохранением длин сторон и с изменением площади.
Ситуация кардинально меняется в размерности 3. В 1996 году И.Х. Сабитов доказал, что объём любого симплициального многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве является корнем многочлена со старшим коэффициентом 1, остальные коэффициенты которого суть многочлены от квадратов длин рёбер многогранника. Следовательно, объём симплициального многогранника с данными комбинаторным строением и длинами рёбер может принимать лишь конечное число значений. Эта теорема несомненно имеет самостоятельный интерес, однако изначально она возникла из замечательной области комбинаторной геометрии - теории изгибаемых многогранников. Изгибаемый многогранник - многогранник с жёсткими гранями и шарнирами в рёбрах, который может изгибаться с изменением двугранных углов. Удивительный факт заключается в том, что хотя примеры самопересекающихся изгибаемых многогранников - октаэдры Брикара - были известны ещё с конца 19-го века, очень долго никому не удавалось построить примера несамопересекающегося изгибаемого многогранника. Впервые такой пример был построен Р. Коннелли в 1977 году. Вскоре им же была сформулирована гипотеза, утверждающая что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. Эта гипотеза стала известной под названием гипотезы о кузнечных мехах. Из теоремы Сабитова следует, что гипотеза о кузнечных мехах верна в размерности 3.
В течение долгого времени оставался открытым вопрос о том, верен ли аналог теоремы Сабитова в старших размерностях. В 2011 году докладчиком был доказан аналог теоремы Сабитова в размерности 4, однако попытка обобщить это доказательство на случай произвольной размерности упиралась в серьёзные трудности.
В 2012 году докладчику удалось получить доказательство прямого аналога теоремы Сабитова для многогранников произвольной размерности n>2 на основе новых идей. Доказательство стало возможным благодаря взаимодействию двух основных инструментов: теории нормирований полей, использование которой в такого рода задачах уже стало традиционным, и теории сдавливания симплициальных комплексов, использование которой является принципиально новым.
Аbstract:
Многогранники Гельфанда-Цетлина возникают в теории представлений,
исчислении Шуберта и теории выпуклых тел Ньютона-Окунькова (как многогранники Ньютона
многообразий полных флагов). Я объясню, что такое многогранники Гельфанда-Цетлина, и почему они
заслуживают изучения. Их определение элементарно и очень просто, однако, мало известно об
их комбинаторных свойствах. Я расскажу о недавних результатах, связанных с многогранниками
Гельфанда-Цетлина, и сформулирую некоторые открытые задачи. Никаких специальных знаний
не требуется.
Аbstract:
Теория Каждана--Люстига развилась из гипотез Каждана--Люстига,
доказанных Бейлинсоном--Бернштейном и Брылинским--Кашиварой в начале
80-х. Она предлагает способ отвечать на стандартные вопросы теории
представлений, такие как подсчет числа и размерностей (или характеров) неприводимых
представлений, через понятие категорификации и канонического базиса, опираясь на
общие глубокие результаты алгебраической геометрии, обобщающие гипотезы Вейля.
После краткого обзора классических идей этой теории я расскажу о
недавних и текущих работах (совместных, соответственно, с И. Мирковичем и А.
Окуньковым), связывающих теорию Каждана--Люстига с геометрической двойственностью
Ленглендса и квантовыми когомологиями.
