На главную страницу ЛШСМ-2013 К списку курсов ЛШСМ-2013

Дмитрий Сергеевич Челкак

Случайные блуждания на плоскости и их пределы: простое случайное блуждание, LERW и SAW

Д.С.Челкак планирует провести 4 занятия.

Ассистент на курсе — Ольга Ромаскевич.

Как выглядит случайная кривая на плоскости? И что это вообще такое? Классический пример — простое случайное блуждание на квадратной решетке: пьяница стартует из бара в начале координат, проходит один квартал в случайно выбранном направлении (на север, запад, юг или восток), после чего повторяет процедуру на каждом перекрестке, независимо от того, что происходило ранее. Какие у него шансы попасть на нужную окраину города? Или вернуться в исходный бар, если город бесконечен? На первых двух лекциях мы обсудим связи этой, изначально чисто комбинаторной задачи, со школьной физикой и комплексным анализом. В частности, мы поговорим о броуновском движении: что происходит, если размер одного шага нашего процесса - очень маленький (например, мы глядим на Манхэттен из пролетающего самолета, или на пыльцу в капле воды через микроскоп).

А как можно естественным образом определить случайную несамопересекающуюся кривую на плоскости и какими свойствами будут обладать такие кривые? Третья и четвертая лекции будут посвящены современным результатам в этом направлении: случайному блужданию с удаленными петлями (LERW = Loop Erased Random Walk) и самоизбегающему случайному блужданию (SAW = Self Avoiding Walk). Для модели LERW мы постараемся объяснить основную идею, позволяющую изучать предел таких блужданий при измельчении шага решетки, а также ее связь с другой важной конструкцией - случайным остовным деревом заданного графа. Для модели SAW будет рассказано доказательство важного недавнего результата (2010г.) о перечислении несамопересекающихся ломаных заданной длины, нарисованных на шестиугольной решетке.

Курс предназначен для студентов и школьников, знакомых с началами анализа и имеющими общее представление о теории вероятностей. Третья и четвертая лекции независимы друг от друга и от первых двух: их можно слушать, если вы уже обладаете базовыми знаниями о случайном блуждании на плоскости (или же посетили первые две лекции). По ходу дела будут появляться листочки с задачами к лекциям.

Лекции 1–2. Простое случайное блуждание на квадратной решетке. Вероятность выхода из области через заданную дугу и задача Дирихле для дискретно-гармонических функций. Функция Грина в области как сумма по траекториям случайного блуждания. Неограниченность свободной функции Грина и возвратность случайного блуждания на плоскости.

Броуновское движение как предел случайных блужданий на измельчающихся решетках. Аналитические функции, конформные отображения и свойство конформной инвариантности вероятности выхода из области через заданную дугу. Обсуждения свойства конформной инвариантности траекторий броуновского движения как следствия конформной инвариантности вероятностей выхода.

Лекция 3. LERW: случайное блуждание с удаленными петлями. Независимость вероятностного распределения получаемых траекторий от процедуры удаления петель: «с начала» или «с конца». Мартингальное свойство дискретного ядро Пуассона по отношению к растущей кривой. Обсуждение конформной инвариантности предельных траекторий (на измельчающихся решетках) случайных блужданий с удаленными петлями и их свойств.

Лекция 4. SAW: самоизбегающие блуждания. Определение модели, свойство субаддитивности, константа связности. Построение дискретно-аналитической наблюдаемой как суммы по путям с комплексным весом. Доказательство теоремы H. Duminil-Copin'а и С.К. Смирнова (2010) о точном значении константы связности для шестиугольной решетки. Обсуждение конформной инвариантности предельных траекторий: чего не хватает для полного доказательства?

Материалы