В осеннем семестре 2002 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
В пятницу, 20 декабря, 2002, 17.00, ауд. 206 состоится доклад
D.Bessis
"Effective Van Kampen method".
Abstract: "In the 1930's, Van Kampen described a method for computing presentations of fundamental groups of complements of complex algebraic curves. Though it involves manipulating objects such as braids and monodromy, this method can be turned into an effective algorithm. However, to obtain a software fast enough to solve interesting examples with a warranty on the result, one has to be careful when choosing the implementation strategies."
В пятницу, 13 декабря, 2002, 17.00, ауд. 206 состоится доклад:
George SHABAT
RIBBON GRAPHS WITH COMMENSURABLE EDGE LENGTHS AND DESSINS D'ENFANTS
We shall start with a brief review of two similar constructions.
The first of them, the Konzevich-Witten one, assigns to a metricised ribbon graph the STREBEL PAIR: a riemann surface together with a meromorphic quadratic differential on it.
The second one, due to Grothendieck, assigns to a ribbon graph (without any additional structures) the BELYI PAIR: an algebraic curve over the field of algebraic numbers together with a rational function on it.
It will be explained how in the particular case, when the lengths of all the edges are commensurable, these constructions are in a certain sense equivalent.
Some constructive implications of this equivalence will be discussed. Among them we are going to explain the reappearance of POLYNOMIAL PELL EQUATIONS, studied by lots of people for various reasons - e.g., by Abel (1826) in connection with pseudo-elliptic integrals and by Mumford-van Moerbeke in connection with Toda Lattices.
В пятницу, 6 декабря, 2002, 17.00, ауд. 206 состоится доклад В.Фока
Допглавы пространств Тейхмюллера
Budut rassmotreny neskol'ko s'uzhetov, sv'azannyh s prostranstvom Teichmuellra i koordinat na nem. A imenno:
1. Udaetsya dat' prostoe opisanie modul'arnoj gruppy obrazujuschimi i sootnoshenijami.
2. S kazhdym 'elementom modul'arnoj gruppy sv'azano trehmernoe mnogoobrazie.
S pomoschju koordinat legko vychislit' ego ob'em, a takzhe bolee tonkij teoretko-chislovoj invariant - element gruppy K_3.
3. Udaets'a prodeformirovat' algebru funkcij na prostranstve Teichmuellera v napravlenii skobki Poissona i postroit', v chastnosti, unitarnye predstavlenija modul'arnoj gruppy.
4. Esli ostanets'a vrem'a, budet rasskazano pro sv'az' kvazifuksovyh grupp s uravneniem Sine-Gordon.
В пятницу, 29 ноября, 2002, 17.00, ауд. 206 состоится доклад В.Голышева
О проблеме акцессорного параметра
Доклад будет посвящен классической (Клейн, Пуанкаре) проблеме акцессорного параметра - т.е. задаче нахождения коэффициентов уравнения 2-го порядка, униформизующего базу. Загадочное свойство некоторых многочленов, связанных с этой задачей, вроде бы указывает на возможность нового подхода к подобным вещам.В пятницу, 22 ноября, 2002, 17.00, ауд. 206 состоится доклад А.Черепанова
Применение гиперболических групп отражений к исследованию K3-поверхностей
Объектом нашего рассмотрения будут алгебраические K3-поверхности (над полем комплексных чисел). Важнейшим источником информации о K3-поверхности является решетка H_2 ее двумерных гомологий.
Решетка S алгебраических циклов является примитивной подрешеткой сигнатуры (1,n) в H_2. Это позволяет связать с ней модель n-мерного пространства Лобачевского. Любой элемент c в S, для которого (c,c)=-2, определяет в этом пространстве отражение. Оказывается, конус обильных дивизоров является фундаментальным многогранником группы всех таких 2-отражений. Отметим, что для нахождения фундаментального многогранника в конкретных случаях есть эффективный алгоритм.
Глобальная теорема Торелли для K3-поверхностей позволяет довольно легко выразить группу автоморфизмов K3-поверхности через группу ортогональных преобразований решетки S, сохраняющих конус обильных дивизоров.
Т.о., изучая геометрию решеток алгебраических циклов с помощью теории дискретных групп отражений в пространствах Лобачевского, можно находить группы автоморфизмов K3-поверхностей. Далее в некоторых случаях можно находить проективные вложения этих K3-поверхностей. При этом естественно рассматривать семейства K3-поверхностей с фиксированной решеткой алгебраических циклов.
В пятницу, 15 ноября, 2002, 17.00, ауд. 206 будет доклад
Обобщенные пространства Тейхмюллера.
Фок В.В.
Пространсво Тейхмюллера является открытым подмножеством пространства плоских PSL(2,R) связностей на двумерной поверхности. Мы описываем два типа глобальных координат на пространстве Тейхмюллера (один из которых совпадает с координатами Пеннера) в форме, допускающей обобщение на пространство PSL(N,R) связностей. Предполагается (а в случае N=3 доказывается с помощью элементарной геометрии), что полученные координаты глобально параметризуют пространство дискретных подгрупп PSL(N,R).
В качестве побочного мы продемонстрируем связь описанного сюжета с теорией вполне положительных матриц, теорией чисел и некоторыми другими областями деятельности.
Воскресенье, 10 ноября, 2002, 17.00, ауд. 206 будет доклад
V.Zolotarskaia
Penner's construction.
This construction deals with decorated Teichmuller space which is the cartesian product of Teichmuller space and a space of "moduli", (one positive real number is associated to each puncture of a surface).
Penner gives coordinatization of decorated Teichmuller space by parameters which are natural for the action of the mapping class group. Another variant of this construction gives projective coordinates on the simply Teichmuller space.
There is also given a Mapping Class Group-invariant cell decomposition of decorated Teichmuller space.
Also I will speak about the last work of Penner, where he extends his theory to the setting of surfaces with boundary, and there is non-trivial new structure discovered.
В пятницу, 1 ноября 2002, 17.00, ауд. 206, будет доклад В.Турчина
ОПЕРАДЫ КУБИКОВ, ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ И ИХ ОПЕРАДЫ ГОМОЛОГИЙ
V doklade budet objasneno chto takoje topologicheskije i algebraicheskije operady. Budut dany razlichnyje primery topologicheskih operad i opisany ih operady gomologij. Naprimer, gomologii operady malen'kih diskov jest' operada algebr Gerstenhabera. Gomologii operady vrash'ajushihsia diskov jest' operada algebr Batalina-Vylkovisskogo.
Jesli ostanetsia vremia skazhu vkratse sviaz' etih operad s gomologijami prostranstv uzlov.
В пятницу, 25 октября, 2002, 17.00, ауд. 206 будет доклад А.Богатырева (INM RAS)
"CHEBYSHEV OPTIMIZATION AND RIEMANN SURFACES"
Extremal polynomials (EP) are the solutions of Chebyshev problems of minimal deviation with various restrictions on the coefficients of polynomials. Problems of this type arise i.e. in optimization of numerical algorithms and signal processing. The computation of those polynomials is a notoriously difficult task. We present the description, classification and computational rules for general EP.
To every EP we ascribe the unique real hyperelliptic curve, from which the polynomial itself can be restored (up to the sign and the affine equivalence) by some explicit formula which is a generalization of a classical Chebyshev and Zolotarev formulas.
So families of EP arise as certain manifolds in the space of curves. The manifolds corresponding to EP are discerned by a set of transcendential equations of abelian type, which can be effectively solved on a computer. To this end we perform uniformization of the curves by Schottky groups varying in a certain deformation space. The formula for EP as well as abelian equations can be expressed in terms of Schottky automorphic functions.
В пятницу, 18 октября, 2002, 17.00, ауд. 206 будет доклад Б.Фейгина "Модулярный функтор"
В докладе будет рассказано о модулярном функторе.Это - сорт теории когомологий, а точнее начало такой теории. Имеющиеся конструкции относят римановой поверхности векторное пространство, на котором проективно действует группа Тейхмюллера. Более того, каждой трехмерной пленке, затягивающей поверхность, отвечает прямая в пространстве модулярного функтора. Комплексной структуре на поверхности тоже отвечает такая прямая. Модулярный функтор естественно дает инварианты узлов и трехмерных многообразий.
В пятницу 11 октября, 2002, 17.15, ауд. 206 будет доклад С.Шадрина "Chisla Hurwitza i vychislenie chisel peresechenii na prostranstve modulei krivykh."
Abstract:
U menya na etot schyot esct' chetyre syuzheta, kotorye ya bolee ili menee podrobno sobirayus' rasskazat'.
1) Yavnoe vyrazhenie dlya $\langle\tau_{3g}\tau_0^2\rangle_g$ cherez chisla Hurwitza.
1') Formula, vyrazhayuschaya chisla Hurwitza obobschyonnykh mnogochlenov cherez peresecheniya s "two-pointed ramification cycles" na prostranstve modulei krivykh.
2) Algoritm vychisleniya vsekh peresechenii vida $\langle \tau_{n,m} \tau_{0,0}^{k_0} \tau_{0,1}^{k_1} \dots \rangle_g$, poyavlyayuschikhsya v gipoteze Wittena pro ierarchiyu Glephanda-Dikogo.
3) Formula, vyrazhayuschaya chisla Hurwitz obychnykh mnogochlenov proizvol'nogo topologicheskogo tipa cherez peresecheniya na prostranstve modulei.
V osnovnom ya budu govorit' pro punkt 2); punkt 1) -- eto prosto dlya zatravki; a punkt 4) ya rasskazhu tol'ko esli ostanetsya vremya.
В пятницу 4 октября, 2002, 17.00, ауд. 206
будет доклад М.Вербицкого
"Coherent sheaves on generic K3 and compact tori"
Abstract:
Let M be a K2 surface or an even-dimensional torus. We show that the category of coherent sheaves on M is independent from M, assuming that M is generic in its deformation class. The proof is based on Yang-Mills geometry of stable bundles, also known as Hitchin-Kobayashi correspondence.
We also give a description of the category of coherent sheaves on a generic complex torus T, dim T >3, in terms of flat bundles on T.
В пятницу 27 сентября 2002, 17.00, ауд. 206
будет продолжен доклад С.К.Ландо
"От перечисления разветвленных накрытий сферы
к теории пересечений на пространствах модулей кривых"
Доклад посвящен более детальному изложению результатов, уже рассказывавшихся на этом семинаре в прошлом году. Особое внимание будет уделено вопросу о том, как подсчет числа разветвленных накрытий сводится к задаче теории пересечения в пространстве функций, и как затем последняя задача сводится к задаче теории пересечений на пространстве модулей кривых. Также будет рассказано, каким образом можно вычислять возникающие индексы пересечения.
В пятницу, 20 сентября 2002, 17.00, ауд. 206
состоится доклад С.Игонина
"Накрытия и фундаментальная группа в категории дифференциальных уравнений"
Аннотация:
Известно, что дифф. уравнения в частных производных можно понимать как геометрические объекты. Среди морфизмов этих объектов выделяются так называемые дифференциальные накрытия, во многом повторяющие свойства топологических накрытий. Известно, что многие конструкции в теории солитонов, в том числе пары Лакса и преобразования Бэклунда, состоят из дифф. накрытий.
Цель доклада -- показать, что для дифф. уравнений существует аналог фундаментальной группы. Но это не дискретная группа, как в топологии, а группа Ли, и дифф. накрытия задаются ее гладкими действиями на многообразиях.
Эта группа будет явно вычислена для нескольких интегрируемых (солитонных) систем и окажется бесконечномерной группой Ли, связанной с алгеброй Ли типа Каца-Муди или Кричевера-Новикова.
Будет показано, что этот подход дает алгебраические критерии для существования преобразования Бэклунда между двумя системами уравнений и позволяет классифицировать преобразования Бэклунда в терминах однородных пространств групп Ли.
Все не совсем стандартные понятия будут подробно определены во время доклада.
В пятницу, 13 сентября 2002, 17.00, ауд. 206 семинар возобновляет работу. Состоится доклад:
С.К.Ландо. От перечисления разветвленных накрытий сферы к теории пересечений на пространствах модулей кривых.
Доклад будет посвящен более детальному изложению результатов, уже рассказывавшихся на этом семинаре в прошлом году. Особое внимание будет уделено вопросу о том, как подсчет числа разветвленных накрытий сводится к задаче теории пересечения в пространстве функций, и как затем последняя задача сводится к задаче теории пересечений на пространстве модулей кривых. Также будет рассказано, каким образом можно вычислять возникающие индексы пересечения.