На главную страницу МЦНМО-НМУ

Алексей Иванович Зыкин

Введение в теорию чисел

К ВИДЕО

Экзамен

Результаты экзамена

Листки (Exercise sheets. pdf)

[Листок 1 .pdf|Листок 2 .pdf|Листок 3 .pdf|Листок 4 .pdf|Листок 5 .pdf]

Программа курса

1. Введение. Немного о диофантовых уравнениях (теорема Матиясевича, теорема Ферма, конгруэнтные числа и эллиптические кривые)

2. Теория Галуа и конечные поля. Основные факты из теории Галуа. Структура конечных полей. Уравнения над конечными полями. Квадратичный закон взаимности.

3. p-адические числа. Сравнения и p-адические числа. Лемма Гензеля. Теорема Островского.

4. Квадратичные формы. Представление чисел квадратичными формами над Q_p и над Q. Теорема Минковского-Хассе.

5. Поля алгебраических чисел. Разложение на простые идеалы, ветвление, дискриминант. Нормирования полей алгебраических чисел.

6. Единицы и классы идеалов. Представление чисел полными разложимыми формами. Группа классов идеалов. Теорема Дирихле о единицах.

7. Эллиптические кривые. Базовые свойства. Теорема Морделла-Вейля.

8. Дзета-функции. Распределение простых чисел и дзета-функция Римана. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда и формула для вычета.

Литература.

1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

2. Вейль А. Основы теории чисел.-М.: Едиториал УРСС, 2004.

3. Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

4. Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. - М.: Мир, 1982.

5. Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.

6. Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.

7. Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

8. Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972