Курс посвящен независимым интенсивно развивающимся областям современной математики. Каждая часть начинается с элементарных определений и заканчивается формулировкой нерешенных проблем. Лекции сопровождаются упражнениями. Решение задач позволяет слушателям погрузиться в излагаемую область и, при желании, начать в ней работать.
Основной объект: пространство наборов из n точек топологического пространства. Его топологические свойства. Группы кос. Пример: пространство 2-конфигураций, препятствие к вложимости и теорема Борсука-Улама. Приложения в теории сложности вычислений. Приложения в теории суперпозиций. Приложения в теории интерполяций. Приложения в симплектической геометрии. Приложения в роботике. Приложения в теории дискриминантов. Приложения в теории узлов.
Особые точки и предельные циклы как аттракторы типичных потоков на плоскости.16я проблема Гильберта (часть вторая) о числе предельных циклов полиномиального векторного поля. Квадратичные векторные поля. Инфинитезимальная 16я проблема Гильберта о числе нулей абелевых интегралов. Проблема Гильберта-Арнольда о рождении предельных циклов при бифуркациях сепаратрисных многоугольников.
[Листок 1 (41K)|Листок 2 (21K)|Листок 3 (22K)]
[Листок 1 (16K)|Листок 2 (9K)|Листок 3 (9K)]
Лекц. 1. Гладкие многообразия и R-алгебра гладких функций на них. Восстановление многообразия по его R-алгебре гладких функций F (точки как гомоморфизмы F→R). Обобщения понятия гладкого многообразия путем задания определенного класса R-алгебр.
Лекц. 2. Примеры механических систем, конфигурационные пространства которых являются гладкими многообразиями и гладкими многообразиями с сингулярностями. Исследование (и классификация) возникающих сингулярностей. Задание соответствующих многообразий посредством R-алгебр функций на них.
Лекц. 3. Определения и основные свойства необходимые для создания общей теории гладких сингулярных многообразий и их "обкатка" на примерах из лекции 2. Условия на основную R-алгебру функций, обеспечивающие достаточно "приличное" множество сингулярностей. Касательные пространства (не обязательно линейные) в сингулярных точках. Векторные поля на сингулярных гладких многообразиях. Неединственность локальных решений задачи Коши в некоторых сингулярных точках. Подробное исследование двумерного случая.
