А.Г.Сергеев

Теория функций комплексного переменного (весна 1997)

Материалы семинаров и задачи к экзамену (Exercises and exam problems)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of Ghostview)

[Семинары (47K) (Exercises)|Экзамен 1 (12K) (First exam)|
Экзамен 2 (12K) (Second exam)]

Запакованные zip-ом postscript-файлы (Zipped postscript)

[Семинары (47K)|Экзамен 1 (12K)|Экзамен 2 (12K)]

Программа курса

Аналитическое продолжение гамма-функции Эйлера.
Аналитическое продолжение канонического элемента вдоль пути. Единственность продолжения вдоль пути.
Теорема о монодромии.
Понятие многозначной аналитической функции. Аналитический элемент. Функции $\root n\of{z}$ и логарифм.
Особые точки аналитической функции. Точки ветвления конечного порядка. Разложение аналитической функции в ряд Пюизо.
Римановы поверхности функций $\sqrt{z}$ и $\text{Ln\;}z$.
Определение римановой поверхности аналитической функции. Структура комплексного многообразия на римановой поверхности.
Логарифмический вычет. Число нулей и полюсов функции, мероморфной в области.
Принцип аргумента.
Теорема Руше. Основная теорема алгебры.
Принцип сохранения области.
Локальное обращение голоморфных функций. Необходимое условие локальной однолистности.
Принцип максимума модуля.
Лемма Шварца.
Локально равномерно ограниченные семейства голоморфных функций.
Теорема Монтеля.
Теорема Гурвица. Предел последовательности однолистных голоморфных функций.
Автоморфизмы основных областей (расширенная плоскость, комплексная плоскость, единичный круг). Биголоморфные отображения области на круг.
Теорема Римана.
Принцип соответствия границ. Теорема Каратеодори (без доказательства).
Принцип симметрии.
Конформное отображение верхней полуплоскости на прямоугольник.
Эллиптический синус.
Общие свойства эллиптических функций (периоды, теорема Лиувилля, вычеты и значения эллиптической функции в параллелограмме периодов).
Модулярная функция.
Теорема Пикара.