Спецкурсы

1. В.И.Арнольд. Астроидальная геометрия и топология

2. В.О.Бугаенко. Многогранники Кокстера

3. Ю.М.Бурман. О проективных пространствах, или геометрия без рисунков.

Идея курса состоит в том, чтобы показать слушателям, как в геометрии и топологии работать с объектами, размерность которых мала, но все же больше двух — так что их нельзя непоследственно нарисовать.

Цель курса — познакомить слушателей на конкретных примерах с некоторыми важными геометрическими объектами — проективными пространствами, ортогональными группами, касательным расслоением, использованием комплексных чисел и кватернионов.

Основной материал курса — многочисленные доказательства гомеоморфизма SO(3)=RP³.

Предполагаемая аудитория — студенты, выпускники и самые "продвинутые" школьники. Не предполагается знакомства с линейной алгеброй.

4. М.Н.Вялый. Линейные неравенства и комбинаторика

Решение линейных неравенств по научному называется линейным программированием. В курсе будут обсуждаться приложения линейного программирования к теории графов. Основным примером будет так называемая слабая гипотеза Бержа о совершенных графах.

Значительную часть материала доступна старшим школьникам. Знание линейной алгебры не обязательно, но значительно упростит понимание.

5. С.А.Дориченко. Плоские алгебраические кривые и проективная геометрия

Знаменитая теорема Паскаля гласит: если шестиугольник ABCDEF вписан в окружность, то точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Эта удивительная теорема остается верной, если в ее формулировке заменить окружность на любую плоскую алгебраическую кривую степени 2: эллипс, параболу, гиперболу, пару прямых.

Теорема Паскаля коротко и изящно выводится из теоремы Безу, которая утверждает, что две плоские алгебраические кривые, одна — степени n, а другая — степени m, пересекаются либо по кривой, либо по конечному множеству точек, причем в последнем случае этих точек не более mn.

Метод доказательства поможет нам решить и некоторые другие классические задачи планиметрии и проективной геометрии.

Приглашаются школьники.

6. М.Э.Казарян (продолжение лекций А.А.Болибруха)

Цель курса — дать краткое представление о том, какие математические структуры использует современная теоретическя физика и научить распознавать эти структуры в дебрях физических рассуждений и терминологии.

Курс рассчитан, по-видимому, на студентов, и первокурсники не должны опасаться, что им будет тяжело. Основные геометрические идеи будут понятны также и школьникам (интересующимся наукой). Им этот курс также будет полезен тем, что у них появится представление о том, какими терминами владеет современная наука, а наполнять эти термины смыслом им, возможно, придется позже.

7. В.А.Клепцын. Простейшие понятия теории вероятностей

- понятие вероятности: повторяющиеся опыты
- конечная схема
- общее определение вероятностного пространства
- эквивалентность этих определений для конечной схемы
- условная вероятность, формулы полной вероятности и Байеса

- зависимость и независимость событий
- случайные величины
- зависимость и независимость случайных величин
- функция распределения случайной величины
- теорема Каратеодори и реализация случайной величины с данным распределением.

- математическое ожидание случайных величин, конечная схема: два определения— "по Риману" и "по Лебегу"
- общее понятие математического ожидания
- его простейшие свойства
- неравенство Чебышева
- дисперсия: способ измерять разброс случайной величины
- еще немного свойств математического ожидания и дисперсии
- схема Бернулли и закон больших чисел (ЗБЧ)
- "разумность" нашей модели

8. А.В.Кочергин (продолжение лекций Д.В.Аносова)

9. А.Б.Скопенков. Характеристические классы для начинающих

На спецкурсе будет рассказано, как можно решать красивые и сложные топологические проблемы при помощи алгебраической топологии. При этом основные понятия алгебраической топологии (более конкретно, теории препятствий и характеристических классов) будут естественно возникать в процессе решения указанных проблем. Материал будет преподноситься в основном на примерах размерностей 2 и 3 (ну максимум 4), хотя соответствующие методы работают и в многомерном случае.

Для интуитивного понимания спецкурса достаточно начальных знаний по топологии и алгебре (например, в пределах вводного курса настоящей Летней Школы); для более глубокого нужно также владеть основами топологии многообразий (все остальные понятия, используемые в нижеследующей программе, будут объяснены). Часть материала будет преподноситься в виде задач. Будут предложены также задачи для исследования.

10. А.Б.Скопенков. Классические и современные проблемы топологической теории графов

Топологическая теория графов — раздел математики, возникший на стыке комбинаторики, топологии и программирования, бурно развивающийся в последнее время. Он относительно доступен для начинающих, но в то же время содержит красивые сложные результаты и нерешенные проблемы. На спецкурсе будут разбираться и теоремы и задачи о существовании и классификации вложений графов (и более сложных объектов) в плоскость (и в поверхности). При наличии времени будут также рассмотрены алгоритмы нахождения вложений, в том числе вложений с некоторыми специальными свойствами (интересными с точки зрения теорий динамических систем и суперпозиций).

Предполагается, что участники либо имеют опыт работы с графами, либо готовы потратить много времени на приобретение такого опыта в Летней Школе. Для интуитивного понимания спецкурса достаточно знать школьную программу; для более глубокого нужно понимать, что такое непрерывное отображение подмножества трехмерного пространства в плоскость (все остальные понятия, используемые в нижеследующей программе, будут объяснены). Большая часть материала будет преподноситься в виде задач. Будет предложено также много задач для исследования.

11. А.Б.Сосинский. Невычислимость, неразрешимость, недоказуемость

Занятия (на которых будут в основном решаться задачи) посвящены результатам, показывающим принципиальные дефекты формализации математики: существование
(1) (очень простых!) функций из N в N, которые ни один компьютер не может сосчитать (невычислимость);
(2) подмножеств натуральных чисел, принадлежность к которым не может определить ни одна машина (неразрешимость);
(3) математических утверждений о натуральных числах, которые нельзя вывести из аксиом в данной формальной системе, хотя они заведомо верны (недоказуемость, или замечательная теорема Гёделя о неполноте).

12. А.В.Стояновский. Классические и новые вопросы теории определителей

Цель курса -- сформулировать ряд открытых вопросов из теории определителей, относящихся к тождествам с минорами данной матрицы, а также к многомерным определителям и связанным с ними понятиям (результанты, дискриминанты).

Предполагаемая аудитория: все желающие.

Необходимые предварительные знания: чем меньше знают, тем лучше.

13. В.А.Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников

Обозначим через f₀ число вершин выпуклого многогранника, через f₁ — число ребер, через f₂ — число двумерных граней и т.д. Каким соотношениям удовлетворяют числа f_i? Это один из основных вопросов комбинаторики выпуклых многогранников. Мы разберем два классических результата, связанных с этим вопросом.

Требования к подготовке слушателей: основы линейной алгебры, определение выпуклого многогранника в многомерном пространстве.

14. Р.М.Фёдоров. Основы теории Галуа

Знаменитая теорема, к которой нас приведет изучение групп Галуа, гласит, что существует уравнение пятой степени с целыми коэффициентами (например, уравнение x⁵-x-1=0), корни которого не могут быть получены из рациональных чисел при помощи арифметических операций и извлечения корней.

Оказывается, что теория конечных расширений поля Q связана с построениями циркулем и линейкой. Оставаясь в рамках предыдущих определений, мы докажем неразрешимость "задачи об удвоении куба". Мы также выясним при каких n правильный n-угольник может быть построен циркулем и линейкой.

Требования к слушателям: знакомство с понятиями векторного (линейного) пространства, многочлена, комплексного числа, поля, группы; незнакомство с теорией Галуа.

15. И.В.Ященко. Теория множеств