На главную страницу НМУ

И.М.Парамонова (I.Paramonova, nee Schchepochkina)

Супералгебры Ли и двойственность Хау (Lie superalgebras and Howe duality)

Записки лекций (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of ghostview)

[Лекция 0 (19K)|Лекция 1 (29K)|Лекция 2 (29K)|Лекция 3 (32K)]

Zipped postscript

[Лекция 0 (19K)|Лекция 1 (29K)|Лекция 2 (29K)|Лекция 3 (32K)]

Спецкурс посвящен элементарному введению в теорию супералгебр Ли. Появление понятия "супералгебра Ли" самым тесным образом связано с потребностями квантовой механики. Однако и в классической математике есть явления и понятия, имеющие суперприроду, часто неочевидную. Одно из таких замечательных явлений - двойственность Хау - будет разобрано в курсе.

Курс рассчитан на студентов, начиная со второго курса. Желательно знакомство с элементами теории алгебр Ли (например, достаточно, моего семестрового курса "Группы и алгебры Ли").

1. Алгебры Ли: структурная теория, фундаментальные представления. Универсальная обертывающая алгебра. Представления со старшим весом и индуцированные представления. Формула Вейля для характера. Гармонический анализ на сфере.
2. Линейная алгебра в суперпространствах: линейное суперпространство, операторы и билинейные формы. Ассоциативные супералгебры, тензорное произведение, дифференцирования, основные примеры.
3. Супералгебры Ли: определение, основные примеры. Подалгебры и идеалы. Представления и лемма Шура. Универсальная обертывающая алгебра.
4. Элементы структурной теории: нильпотентные, разрешимые, простые и полупростые супералгебры Ли. Представления разрешимых супералгебр Ли.
5. Примеры описания неприводимых представлений супералгебр Ли.
6. Осцилляторное представление симплектической алгебры Ли sp(2n) в пространстве Фока. Спинорное представление ортогональной алгебры Ли o(n). Спин-осцилляторное представление ортосимплектической супералгебры Ли - первая часть двойственности Хау.
7. Вторая часть двойственности Хау