В весеннем семестре 2003 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
Пятница, 6 июня, 2003, 17.00, ауд. 206
Первая часть доклада посвящена обзору результатов Некрасова о решении Зайберга-Виттена как о квантовании эквивариантного объема пространства модулей инстантонов.
Будут обсуждаться:
1. Эквивариантный объем $C$ и суперсимметричное действие Янга-Миллса как эквивариантный объем пространства модулей антисамодуальных связностей
2. Структура решения Зайберга-Виттена
Во второй части мы рассмотрим случай пучков без кручения ранга один, и покажем связь эквивариантного объема их пространства модулей и полной статсуммы в теории Громова-Виттена на $P_1$.
Затем мы покажем, как это обобщается на фазовое пространство, и предложим гипотетическую интерпретацию происходящего.
Пятница, 30 мая, 2003, 17.00, ауд. 206
Коэффициенты Литлвуда-Ричардсона, гипотеза Хорна и торические расслоения на CP^2 (продолжение доклада).
Пятница, 23 мая, 2003, 17.00, ауд. 206
Рассмотрим кольцо когомологий многообразия Грассмана. Коэффициенты Литлвуда-Ричардсона -- это "структурные константы" кольца когомологий в базисе из циклов Шуберта. Так как клетки Шуберта нумеруются разбиениями (или диаграммами Юнга), Коэффициент Литлвуда-Ричардсона зависит от 3-х диаграмм Юнга. Оказывается, что те же самые коэффициенты возникают и во многих других задачах: при тензорном умножении неприводимых представлений группы GL(n), при "внешнем" умножении представлений симметрических групп и т.д. Гипотеза Хорна дает ответ на следующий вопрос: если известны собственные значения эрмитовых матриц A и B, то какими могут быть собственные значения матрицы A+B? Существует глубокая связь между коэффициентами Литлвуда-Ричардсона и гипотезой Хорна, которую докладчик попытается описать. Первоначальное доказательство гипотезы Хорна опирается на теорию устойчивых торических расслоений на CP^2 (Александр А. Клячко) -- именно этот подход будет рассказан. Другой подход к гипотезе Хорна, принадлежащий Г. А. Кошевому и В. Ю. Данилову, излагался на семинаре "Глобус".
Пятница, 16 мая, 2003, 17.00, ауд. 206
Семейства коммутирующих дифференциальных операторов, в частности их совместные собственные функции (спектр семейства) --- это классический предмет изучения в теории интегрируемых систем.
Доклад посвящен совместной работе с В.М. Бухштабером, в которой:
Построено семейство $\{\mathcal{U}_k\}$ коммутирующих дифференциальных многомерных операторов третьего порядка, каждый из которых коммутирует с оператором Шредингера $\mathcal{L}=\partial_x^2-u(x,t_1, \ldots, t_{g-1})$.
Получено разложение $A=\mathcal{U}_0 \mathcal{L}^{g-1}+\mathcal{U}_1 \mathcal{L}^{g-2}+\ldots +\mathcal{U}_{g-1}$ оператора $A$ пары Лакса $g$-того уравнения КдФ.
Найдено алгебраическое соотношение, связывающее операторы $\mathcal{U}_0, \ldots, \mathcal{U}_{g-1}$ и $\mathcal{L}$.
Показано, что алгебраическое многообразие, заданное этим соотношением, параметризует пространство совместных собственных функций операторов $\mathcal{L}$, $\{\mathcal{U}_k\}$ и представляет собой $(g-1)$-мерное векторное расслоение над гиперэллиптической кривой рода $g$ --- спектральной кривой иерархии КДФ.
Предъявлена в явном виде параметрическая запись общей собственной функции операторов $\mathcal{L}$ и $\{\mathcal{U}_k\}$.
Пятница, 25 апреля, 2003, 17.00, ауд. 206
Any ribbon graph defines by the Grothendieck's theory of dessins d'enfant a certain arithmetic point in some Hurwitz space (it corresponds to the so called Belyi pair, associated to a graph). However, the direct calculation of this point constitutes a very difficult algebraic problem.
The Witten-Kontzevich theory of metricized ribbon graphs includes the dessins theory as a "discrete" special case - that of the commensurable lengths of edges. It gives the possibility of producing some transcendental answers to the above calculational problem.
Пятница, 18 апреля, 2003, 17.00, ауд. 206
Изучаются когомологии де Рама компактного "солвмногообразия" ("солв" -- от solvable) с дифференциалом, деформированным при помощи некоторой замкнутой 1-формы. Такие когомологии естественно возникают в теории Морса-Новикова. Мы показываем, что для разрешимой группы Ли G с вполне разрешимой алгеброй Ли и ко-компактной решеткой \Gamma когомологии G/\Gamma совпадают с когомологиями алгебры Ли, ассоциированными с 1-мерным представлением. Более того, эти когомологии нетривиальны тогда, и только тогда, когда класс нашей 1-формы принадлежит конечному множеству в $H^1(G/\Gamma, {\mathbb C})$, которое описывается в терминах алгебры Ли.
Пятница, 11 апреля, 2003, 17.00, ауд. 206
Будет продолжен доклад В.И.Данилова "Дискретная выпуклость и равновесие в экономиках с неделимыми товарами".
В первой части доклада было введено нетривиальное дискретное обобщение понятия выпуклого множества и дана экономическая мотивировка. Во второй предполагается рассказать о дискретно-выпуклых функциях.
Пятница, 4 апреля, 2003, 17.00, ауд. 206
В докладе предполагается рассказать о том, как одна задача математической экономики (существование равновесий в экономиках с неделимыми товарами) привела нас с Глебом Кошевым к построению теории дискретной (целочисленной) выпуклости.
Примечание:
Недавно на семинаре "Глобус" докладчик рассказал о том как теория дискретной выпуклости позволяет решить известную проблему о спектре суммы двух симметрических матриц (ранее рассматривавшуюся Гельфандом, Хорном, Лидским, Фултоном, Клячко). Широта приложений указывает на, по меньшей мере, неординарность выдвигаемой теории. Экономическая мотивировка доклада не должна смущать чистых математиков. Экономическая теория равновесия хорошо поставлена математически. Например, в непрерывном случае она формулируется в терминах теоремы Брауэра-Какутани о существовани неподвижной точки отображений компакта в себя.
Пятница, 28 марта, 2003, 17.00, ауд. 206
The Viro-Turaev invariants of 3-manifolds are strong and rigourously defined topological invariants inspired by the famous Jones-Witten heuristic invariants and based on the so-called 6j-symbols (used by physicists). The original definition and the proof of their invariance is based on triangulations and is difficult to understand. I will describe a very transparent modification of these invariants due to S.Matveev
Пятница, 21 марта, 2003, 17.00, ауд. 206
Понятие схемы является далеко идущим обобщением понятия алгебраического множества в С^n. Язык схем повсеместно используется алгебраическими геометрами, но до сих пор пугает многих математиков.
Несмотря на общность понятия схемы, в некоторых ситуациях и его приходится обобщать. Например, различные пространства модулей оказываются более сложными, чем схемы. Эти пространства являются стеками. Наше изложение будет сконцентрировано вокруг пространства модулей G-расслоений над фиксированной проективной кривой X.
Пятница, 14 марта, 2003, 17.00, ауд. 206
We prove an analogue of the de Rham theorem for polar homology. This analogue can be regarded as a geometric complexification where arbitrary (sub)manifolds are replaced by complex (sub)manifolds and de Rham's operator $d$ is replaced by Dolbeault's $\bar\partial$.
Пятница, 7 марта, 2003, 17.20 (только 7 марта в виде исключения! В дальнейшем начало будет опять в 17.00!), ауд. 206
Пятница, 28 февраля, 2003, 17.00, ауд. 206
Д. Орлов продолжит свой доклад "Proizvodnye kategorii kogerentnyh puchkov i equivalentnosti mezhdu nimi"
Будут рассмотрены вопросы:
Пятница, 21 февраля, 2003, 17.00, ауд. 206
V doklade predpolagaetsia nachat' s opredelenii proizvodnoi kategorii, tochnyh funktorov i equivalentnostei, rasskazat' pro triangulirovannye categorii. Osnovnym ob'ektom budut proizvodnye kategorii kogerentnyh puchkov, a osnovnym voposom, kotoryi my budem issledovat', iavliaetsia vopros: kogda dva mnogoobraziia imeiut equivalentnye proizvodnye kategorii.
Пятница, 14 февраля, 2003, 17.00, ауд. 206
We explore the multicut solutions to one-matrix model and associated structures on the hyperelliptic Riemann surfaces (R.s.) related to these solutions. We prove that the partition function of the matrix model in the planar limit is the Whitham tau-function, i.e., this partition function satisfies both the Seiberg--Witten equations w.r.t. the variables determined by the hyperelliptic R.s. and, even more, the equations of the Whitham--Krichever hierarchy w.r.t. the variables associated with two punctures (namely, these variables are classic times, or coupling constants, of the matrix model potential). We prove the associativity equations using the residue formula technique and derive the determinantal representation for higher genus corrections.
(The presentation will be presumably in Russian.)