На главную страницу МЦНМО-НМУ

Алексей Иванович Зыкин

Введение в теорию чисел

Годовой, совместный с ВШЭ спецкурс, базовый, для 3 курса и старше

Занятия весеннего семестра начинаются 22 января 2013. 29 января занятия не будет. Следующее - 5 февраля.
Занятия проходят по вторникам в НМУ в ауд.310 в 19:20-21:00.

К ВИДЕО осеннего семестра 2012
К ВИДЕО весеннего семестра 2013

Экзамен за осенний семестр

Результаты экзамена от 16 декабря 2012

Экзамен за весенний семестр

Задание домашнего экзамена

Листки осеннего семестра (Exercise sheets. pdf):

[Листок 1 .pdf|Листок 2 .pdf|Листок 3 .pdf|Листок 4 .pdf|Листок 5 .pdf]

Листки весеннего семестра (Exercise sheets. pdf):

[Листок 6 .pdf|Листок 7 .pdf|Листок 8 .pdf]

Программа годового курса

  1. Введение. Немного о диофантовых уравнениях (теорема Матиясевича, теорема Ферма, конгруэнтные числа и эллиптические кривые)

  2. Теория Галуа и конечные поля. Основные факты из теории Галуа. Структура конечных полей. Уравнения над конечными полями. Квадратичный закон взаимности.

  3. p-адические числа. Сравнения и p-адические числа. Лемма Гензеля. Теорема Островского.

  4. Квадратичные формы. Представление чисел квадратичными формами над Q_p и над Q. Теорема Минковского-Хассе.

  5. Поля алгебраических чисел. Разложение на простые идеалы, ветвление, дискриминант. Нормирования полей алгебраических чисел.

  6. Единицы и классы идеалов. Представление чисел полными разложимыми формами. Группа классов идеалов. Теорема Дирихле о единицах.

  7. Эллиптические кривые. Базовые свойства. Теорема Морделла-Вейля.

  8. Дзета-функции. Распределение простых чисел и дзета-функция Римана. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда и формула для вычета.

Литература.

  1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

  2. Вейль А. Основы теории чисел.-М.: Едиториал УРСС, 2004.

  3. Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

  4. Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. - М.: Мир, 1982.

  5. Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.

  6. Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.

  7. Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

  8. Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972
Rambler's Top100